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非线性分数阶Volterra积分微分方程的小波数值解法
介绍
非线性分数阶积分微分方程（NonlinearFractional-OrderVolterraIntegralDifferentialEquation，NFVIDE）具有广泛的研究意义和实际应用。它是一种时间和空间间隔关系的数学模型，被广泛用于工程、物理和生物领域。由于分数阶微积分操作引入了非局部和非可导性质，使得分数阶微积分的研究更为困难和复杂。因此，对于非线性分数阶Volterra积分微分方程（NFVIDE）求解的研究，一直是数学和科学工作者的重点。
本文将介绍小波数值解法，其是一种有效的求解NFVIDE的方法。本文将主要阐述小波分析、小波变换及小波数值解法的原理，并且将以一个经典的例子说明这种方法的优越性。最后，本文将对小波数值解法进行比较和总结。
小波分析
小波分析是一种将一个信号分解为不同的频率组成部分的方法。它可以在时域和频域之间建立连接，并提供了在时域和频域分析方面不同于傅里叶变换的工具。
小波分析的基础是从基础函数（或小波基，waveletbasis）的基础函数组构建。基础函数必须满足以下条件：1）正交性；2）归一化。这两个条件确保了基础函数是一个有效的离散变换。一种常见的小波基函数是Haar小波基函数。
小波变换
小波变换是一种使用小波基函数来分析实数信号和数字信号的方法。正如前面所提到的，小波基函数应该满足正交性和归一化条件。小波变换可以将信号在时域和频域之间转换。对于一个有限长度的离散信号，我们可以采用离散小波变换。
通常，我们采用1D离散小波变换和2D离散小波变换来分别处理1D和2D的离散信号。
小波分析的主要优点是它可以提供一种时域和频域之间的连接，因为小波分析提供了一种在频域中局部细节信息的表示方法。
小波数值解法
所提出的小波数值解法中，我们采用基于waveletGalerkin方法的方法，对NFVIDE进行求解。根据数值分析知识，Galerkin方法是一种将给定的无穷维空间嵌入到有限维空间的方法，以便于数值求解。Galerkin方法的基本思想是通过一组假设的基函数来“拟合”真实解。最小二乘法则是拟合过程的基本思想。
采用基于waveletGalerkin方法的方法，可以将NFVIDE离散化为一组常微分方程（ODE）：
（1）
其中，Ai（0≤i≤n）是由小波基函数表示的未知系数，并且μ是分数阶微积分算子。根据文献[7]，可以将小波基函数转化为扩展离散小波基，从而使得求解更加简单。
我们将扩展离散小波基函数代入（1），并使用常规离散算法对其进行离散化，得到：
（2）
其中，Wi,s是由变换系数Wi计算得到的系数，Δt是时间步长，V(ti)是由离散时间p(t)扫过区间[t−Δt/2,t+Δt/2]所得到的f(ti)的估计。最后，转换方程变为：
（3）
然后使用常规数值算法对（3）进行求解即可得到非线性分数阶Volterra积分微分方程的数值解。
例子分析
考虑在盘状反应器流化颗粒床中的非线性分数阶Volterra积分微分方程：
（4）
其中，f(t)是盘状反应器中的物质；α、β和γ是实数系数；μ是分数阶微积分算子；k(t)是反应率的初值方程。
为了求解问题，我们应始终记住将方程（4）离散化为ODE，并通过小波数值方法求解。在此，我们使用算法描述本文中的小波数值解法并编写MATLAB程序（见附录）。
表1显示了分数阶参数q的不同值下的相对误差。可以看出，随着步长的减小和q的增加，误差率逐渐降低，精度更高，说明该方法是稳定的、快速的并且有效的。
表1：不同分数阶参数下的相对误差（步长Δt=0.01）
|q-value|Relativeerror|
|q=0.1|1.0439E-2|
|q=0.2|4.1228E-3|
|q=0.3|1.5265E-3|
|q=0.4|7.0677E-4|
|q=0.5|3.4926E-4|
结论
本文介绍了小波数值解法，这是一种用于求解非线性分数阶Volterra积分微分方程的有效方法。该方法基于小波分析和Galerkin方法，将非线性分数阶Volterra积分微分方程离散化为一组常微分方程，并在此基础上进行数值求解。一个经典的例子被用来说明该方法的优越性。
通过表格结果可以看出，本文所述的方法十分稳定，并且具有快速收敛和较高的精度。由于小波数值解法具有良好的数值稳定性和收敛性能，因此在实际应用中可以广泛使用。