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π-余代数的楔积及Hopf群余拟群Ore扩张
1.引言
本文主要研究π-余代数及其在模和代数理论中的应用。在介绍π-余代数的概念及其性质后，我们将重点讨论其楔积与Hopf群余拟群Ore扩张的相关性质。
2.π-余代数的定义及性质
定义：设R是一个含有乘法单位元的环，π是一个不可约多项式。如果存在一个可列R-模N和一个代数同态f:N→N，满足π(x)·f(y)–f(π(x)y)=(x,y)·1N，其中(x,y)是一个R-双线性映射，那么称N为R上的一个π-余代数。
性质：π-余代数具有良好的代数结构，具体包括以下几点：
(1)对于元素a，b，c∈N，满足以下等式：
(a,b+c)=(a,b)+(a,c)
(a+b,c)=(a,c)+(b,c)
π(ab)=π(a)π(b)
(2)π-余代数上存在乘法，满足：
ab=π((a,b))·ab
其中，(a,b)表示R-双线性映射(x,y)对应的元素。
(3)π-余代数与基本π-余代数
若N是一个π-余代数，则它可以表示为D(π，E)的直积，其中D(π)是π的分解因式，E是一个基本π-余代数。
3.π-余代数的楔积
定义：设N1和N2是R上的两个π-余代数，它们在向量空间范畴中的张量积为：
N1⊗RN2=N1⊗N2/V
其中，V是由以下元素张成的向量子空间：
(a⊗x)·(y⊗b)–(ay⊗xb)–(π(a)y⊗xb)+(ay⊗π(b)x)
除此之外，我们还需要定义π-余代数的逆：
定义：设N是R上的一个π-余代数，其逆定义为N上的一个π-余代数M，满足M⊗RN=R。
楔积的定义提供了一种将两个π-余代数组合为一个新的π-余代数的方式，因而具有广泛的实用价值。此外，逆的定义也为我们提供了一种解决π-余代数相除的问题的方法。
4.Hopf群余拟群Ore扩张
定义：设H是一个Hopf群，A是一个H模，S是一个子集，并且T是一个H-不变子集。称以下积分为H-S-T-Ore扩张：
A[t;H,S,T]=A[t;H,T,S]∩tS-1At-1
其中，[t;H,S,T]表示关于元素t，使用H，S，T进行扩张的积分。
定理：设A是一个有限生成的左H-不变子代数，S是一个由H-不变元素生成的自由左A-模，则可以构造一个H-S-T-Ore扩张：B=A[t;H,S,T]。此时，B在H-模范畴中也是左H-不变的，并且具有如下性质：
(1)对于任意一个H坐标子代数C，有B⊃C[t;H,S,T]。
(2)设H是一个分成群，则B在模范畴中是一个自由A-模。
Hopf群余拟群Ore扩张是π-余代数的一个重要应用。它们为我们提供了构造新π-余代数的方法，并且为π-余代数相关结论的证明提供了技术支持。
5.结论
通过对π-余代数的定义及其性质、π-余代数的楔积和Hopf群余拟群Ore扩张的介绍，我们可以看出π-余代数在模和代数理论中具有广泛的应用前景。未来的研究方向可以在这个基础上推进，进一步拓展π-余代数理论的应用范围，为理论研究和实际应用提供更多优秀的理论结果和实际方法。