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Hopf(余)拟群的smash双积
引言
拓扑代数是现代数学研究的重要领域之一，其中拟群是一个非常有趣的概念。Hopf拟群作为拟群中的一个重要类别，早在20世纪40年代就开始受到广泛的关注。Hopf拟群不仅在拓扑学、代数学中有广泛的应用，而且在物理学中也有着重要的贡献。本文主要研究Hopf（余）拟群的smash双积运算，探究其性质和应用。
一、Hopf（余）拟群的定义
Hopf拟群是一种既是拟群又是Hopf代数的结构，也可以看作一个具有乘法和逆运算的拓扑群。下面先介绍拟群的定义，然后再定义Hopf（余）拟群。
定义一：拟群
一个拟群是一个具有一些群性质但并不是群的代数结构。
其中，拟群G有以下性质：
1）G中存在一个元素e，称为单位元。
2）G的元素之间存在二元运算∗，即a,b∗∈G，a∗b∈G。
3）G的元素除了单位元e之外都具有逆元，即G中任意元素a∗b=e,则b是a的逆元。
下面再介绍Hopf（余）拟群：
定义二：Hopf（余）拟群
Hopf（余）拟群是一个兼具两类代数结构的algebraic结构，既是拟群，也是Hopf代数，即在其上既有拟群乘法，又有Hopf代数的结构。
在Hopf（余）拟群中，其具有以下性质：
1）Hopf（余）拟群具有乘法结构并且是拟群；
2）Hopf（余）拟群具有Hopf代数的结构，即它兼具代数和耦合代数的性质；
3）Hopf（余）拟群的乘法结构和Hopf结构具有相互关系，且这种关系在不同的Hopf（余）拟群定义中具有不同的格式。
二、Hopf（余）拟群的构造
1）Hopf拟群的构造
一个Hopf拟群是指，一个拓扑群G，它上面带有一个连续、双射和群同态映射S:G⟶G，它又满足下列条件：
(1)S(x)=x^(-1)foreachx∈G;
(2)ThecompositemapG⟶G×G,x⟼(x,S(x))isahomeomomorphism;
Hopf拟群的构造和Hopf代数的构造非常类似。其中连续性的要求可以被替换为一种更普遍的结构性质：链映射。于是，Hopf拟群的构造也可以通过链复合的方式进行描述。Hopf拟群可以看作是Hopf代数的一个特例，某些方面上它比Hopf代数更具有优越性。
2）余Hopf拟群的构造
余Hopf拟群可以通过对Hopf拟群上的对合映射t的要求而定义的：在Hopf拟群上的对合映射t具有下列性质：
(a)它是反同构，即t^2=XX^-1=1（其中XX-1=1表示t是自反的，即基本群是二阶群）
(b)它保持Hopf代数的结构，即t(xy)=t(y)t(x)forallx,y∈G.
对于任意给定的拓扑群G，包含对合映射的交换三元组（G,t,τ），其中t是反同构，τ是通过对合映射t定义的一个Loday对称顺序，即：
τ(x,y)=(-1)^{|x||y|}τ(y,x)
此时，余Hopf拟群的结构对应于一个拓扑algebra的余HopfLawvere，其中包含了一个余乘法algebra、一个某种Loday顺序和一个余交换对合。
三、smash双积的定义
在Hopf（余）拟群的研究中，smash双积是一个重要的运算。smash双积是定义在两个拓扑空间上的运算，其结果是一个新的拓扑空间。smash双积的定义如下：
设X和Y是两个拓扑空间，G是一个拓扑群，那么X∧GY是跟X空间同伦等价的拓扑空间，其中点分别为(x,gY)和(x',g'Y)，那么：
(x,gY)(x',g'Y)=(x(gY)x',gg'Y).
smash双积的定义实际上是建立在直积空间的基础上的。直积空间的定义是：设X和Y是两个拓扑空间，那么X×Y是一个新的拓扑空间，其中点(x,y)和点(x',y')之间定义了一种局部性。smash双积在直积空间的基础上，进一步定义了一个域的结构。
smash双积的重要性在于，它不仅拥有一些基本的代数结构，还具有一些非常重要的性质。例如，smash双积运算对于基本群的不变性非常重要，且在不同的代数结构中具有不同的性质。
四、smash双积的性质
1）smash双积的可交换性
对于两个拓扑空间X，Y以及交换拓扑群G，存在smash双积X∧GY和Y∧GX之间的同构。
2）smash双积的结合律
smash双积的结合律指：
(X∧GY)∧HHY≅X∧G(Y∧HHY)
其中，X和Y都是拓扑空间，G和H是拓扑群，‘✳’表示smash双积运算。
3）smash双积的分配律
对于拓扑空间X，Y和Z，以及拓扑群G，有：
(X∧YG)×Z≅(X×Z)∧G(Y×Z)
这个式子指的是拓扑空间的直积与smash双积之间有一种对应的关系。
4）smash双积和基本群
smash双积与基本群之间的关系是拓扑代数中非常基本的性质。例如，如果X，Y都是道路连通空间，那么它们的smash双积X∧GY的基本群是G在Y上的作用