（江苏专用）高考数学专题复习 专题8 立体几何与空间向量 第53练 空间角与距离练习题 理-人教版课.doc

（江苏专用）2018版高考数学专题复习专题8立体几何与空间向量第53练空间角与距离练习理
训练目标(1)会求线面角、二面角；(2)会解决简单的距离问题．训练题型(1)求直线与平面所成的角；(2)求二面角；(3)求距离．解题策略利用定义、性质去“找”所求角，通过解三角形求角的三角函数值，尽量利用特殊三角形求解.1．如图所示，已知三棱柱ABC－A1B1C1的侧棱与底面边长都相等，点A1在底面ABC上的投影D为BC的中点，则异面直线AB与CC1所成的角的余弦值为________．

2．已知正三棱柱ABC－A1B1C1的体积为eq\f(9,4)，底面是边长为eq\r(3)的正三角形．若P为△A1B1C1的中心，则PA与平面ABC所成角的大小为________．

3．如图所示，在三棱锥S—ABC中，△ABC是等腰三角形，AB＝BC＝2a，∠ABC＝120°，SA＝3a，且SA⊥平面ABC，则点A到平面SBC的距离为________．

4．如图，在等腰直角三角形ABD中，∠BAD＝90°，且等腰直角三角形ABD与等边三角形BCD所在平面垂直，E为BC的中点，则AE与平面BCD所成角的大小为________．

5．如图所示，在三棱锥S－ABC中，△SBC，△ABC都是等边三角形，且BC＝1，SA＝eq\f(\r(3),2)，则二面角S－BC－A的大小为______________．

6．如图，在棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，点P在线段AD1上运动，给出以下命题：
①异面直线C1P与B1C所成的角为定值；
②二面角P－BC1－D的大小为定值；
③三棱锥D－BPC1的体积为定值；
④异面直线A1P与BC1间的距离为定值．
其中真命题的个数为________．

7．(2016·山东模拟)如图所示，底面ABC为正三角形，EA⊥平面ABC，DC⊥平面ABC，EA＝AB＝2DC＝2a，设F为EB的中点．
(1)求证：DF∥平面ABC；
(2)求直线AD与平面AEB所成角的正弦值．

8．(2016·辽宁沈阳二中月考)

如图，在△ABC中，∠ABC＝45°，点O在AB上，且OB＝OC＝eq\f(2,3)AB，PO⊥平面ABC，DA∥PO，DA＝AO＝eq\f(1,2)PO.
(1)求证：PB∥平面COD；
(2)求二面角O－CD－A的余弦值．

9．(2016·南通模拟)如图，在四棱锥S－ABCD中，底面ABCD为矩形，SA⊥平面ABCD，AB＝1，AD＝AS＝2，P是棱SD上一点，且SP＝eq\f(1,2)PD.
(1)求直线AB与CP所成角的余弦值；
(2)求二面角A－PC－D的余弦值．

第53练空间角与距离
1.eq\f(3,4)
2.eq\f(π,3)
解析因为AA1⊥底面A1B1C1，所以∠APA1为PA与平面A1B1C1所成的角．因为平面ABC∥平面A1B1C1，所以∠APA1为PA与平面ABC所成角．因为正三棱柱ABC－A1B1C1的体积为eq\f(9,4)，底面三角形的边长为eq\r(3)，所以S△ABC·AA1＝eq\f(9,4)，可得AA1＝eq\r(3).又易知A1P＝1，所以tan∠APA1＝eq\f(AA1,A1P)＝eq\r(3)，又直线与平面所成的角属于[0，eq\f(π,2))，所以∠APA1＝eq\f(π,3).
3.eq\f(3a,2)
解析

作AD⊥CB交CB的延长线于点D，连结SD，如图所示．

∵SA⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，
∴SA⊥BC.又BC⊥AD，SA∩AD＝A，SA⊂平面SAD，AD⊂平面SAD，∴BC⊥平面SAD，又BC⊂平面SBC，∴平面SBC⊥平面SAD，且平面SBC∩平面SAD＝SD.在平面SAD内，过点A作AH⊥SD于点H，则AH⊥平面SBC，AH的长即为点A到平面SBC的距离．在Rt△SAD中，SA＝3a，AD＝AB·sin60°＝eq\r(3)a.由eq\f(AH,SA)＝eq\f(AD,SD)，得AH＝eq\f(SA·AD,SD)＝eq\f(SA·AD,\r(SA2＋AD2))＝eq\f(3a,2)，
即点A到平面SBC的距离为eq\f(3a,2).
4．45°
解析取BD的中点F，连结EF，AF(图略)，易得AF⊥BD，AF⊥平面BCD，则∠AEF就是AE与平面BCD所成的角，由题意知EF＝eq\f(1,2)CD＝eq\f(1,2)BD＝AF，所以∠AEF＝45°，即AE与平面BCD所成的角为45°.
5．60°
6．4
解析对于①，因为在棱长为1的正方体ABCD－A