（江苏专用）高考数学专题复习 专题8 立体几何与空间向量 第54练 向量法求解立体几何问题练习 理-人教版高三全册数学试题.doc

（江苏专用）2018版高考数学专题复习专题8立体几何与空间向量第54练向量法求解立体几何问题练习理
训练目标会用空间向量解决立体几何的证明、求空间角、求距离问题．训练题型(1)用空间向量证明平行与垂直；(2)用空间向量求空间角；(3)求长度与距离．解题策略(1)选择适当的空间坐标系；(2)求出相关点的坐标，用坐标表示直线的方向向量及平面的法向量；(3)理解并记住用向量表示的空间角和距离的求解公式；(4)探索性问题，可利用共线关系设变量，引入参数，列方程求解.
1.如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AC＝3，BC＝4，AB＝5，AA1＝4.
(1)设eq\o(AD,\s\up6(→))＝λeq\o(AB,\s\up6(→))，异面直线AC1与CD所成角的余弦值为eq\f(9\r(10),50)，求实数λ的值；
(2)若点D是AB的中点，求二面角D－CB1－B的余弦值．

2．(2016·甘肃天水一模)如图，在四棱锥S－ABCD中，底面ABCD为梯形，AD∥BC，AD⊥平面SCD，AD＝DC＝2，BC＝1，SD＝2，∠SDC＝120°.
(1)求SC与平面SAB所成角的正弦值；
(2)求平面SAD与平面SAB所成的锐二面角的余弦值．

3．(2017·南昌月考)如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，B1B＝B1A＝AB＝BC，∠B1BC＝90°，D为AC的中点，AB⊥B1D.
(1)求证：平面ABB1A1⊥平面ABC；
(2)在线段CC1(不含端点)上，是否存在点E，使得二面角E－B1D－B的余弦值为－eq\f(\r(7),14)？若存在，求出eq\f(CE,CC1)的值；若不存在，说明理由．

4．(2017·太原质检)
如图所示，该几何体是由一个直三棱柱ADE－BCF和一个正四棱锥P－ABCD组合而成的，AD⊥AF，AE＝AD＝2.
(1)证明：平面PAD⊥平面ABFE；
(2)求正四棱锥P－ABCD的高h，使得二面角C－AF－P的余弦值是eq\f(2\r(2),3).

答案精析
立体几何问题
1．解(1)由AC＝3，BC＝4，AB＝5得∠ACB＝90°，
以C为原点，CA，CB，CC1所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系C－xyz.

则A(3,0,0)，C1(0,0,4)，B(0,4,0)，
设D(x，y，z)，
则由eq\o(AD,\s\up6(→))＝λeq\o(AB,\s\up6(→))，得eq\o(CD,\s\up6(→))＝(3－3λ，4λ，0)，
又eq\o(AC1,\s\up6(→))＝(－3,0,4)，
由题意知|cos〈eq\o(AC1,\s\up6(→))，eq\o(CD,\s\up6(→))〉|＝eq\f(9\r(10),50)
＝eq\f(|－9＋9λ|,5\r(25λ2－18λ＋9))，
解得λ＝eq\f(1,5)或λ＝－eq\f(1,3).
(2)由题意得D(eq\f(3,2)，2,0)，eq\o(CD,\s\up6(→))＝(eq\f(3,2)，2,0)，eq\o(CB1,\s\up6(→))＝(0,4,4)，
设平面CDB1的法向量为n1，
因为eq\o(CD,\s\up6(→))·n1＝0，eq\o(CB1,\s\up6(→))·n1＝0，所以可取n1＝(4，－3,3)；
同理，平面CBB1的一个法向量为n2＝(1,0,0)，
并且〈n1，n2〉与二面角D－CB1－B相等或互补，
所以二面角D－CB1－B的余弦值为
|cos〈n1，n2〉|＝eq\f(2\r(34),17).
2．解如图，在平面SCD中，过点D作DC的垂线交SC于E，以D为原点，DA，DC，DE所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系D－xyz.

则有D(0,0,0)，S(0，－1，eq\r(3))，A(2,0,0)，C(0,2,0)，B(1,2,0)．
(1)设平面SAB的法向量为n＝(x，y，z)，
∵eq\o(AB,\s\up6(→))＝(－1,2,0)，eq\o(AS,\s\up6(→))＝(－2，－1，eq\r(3))，eq\o(AB,\s\up6(→))·n＝0，eq\o(AS,\s\up6(→))·n＝0，
∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－x＋2y＝0，,－2x－y＋\r(3)z＝0，))
取y＝eq\r(3)，得n＝(2eq\r(3)，eq\r(3)，5)．
又eq\o(SC,\s\up6(→))＝(0,3，－e