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精品课件-连续信号与系统的频域分析3.0引言3.1信号的正交分解两矢量V1与V2正交时的夹角为90°。不难得到两正交矢量的点积为零,即所以最佳系数为若V1与V2正交,则θ=90°,cosθ=0,此时由式(3.1-2)得到的最佳系数c12=0。这表明当V1与V2正交时,用c12V2来近似表示V1还不如用0来近似V1。据此,我们可以把两个矢量V1与V2正交的概念解释如下:
给定两个矢量V1和V2,现在要用与V2成比例的矢量c12V2近似地表示V1,要求误差矢量 的模|Ve|最小(此时的c12称为最佳)。若最佳的c12=0,则V1与V2正交。
由式(3.1-2)可知,当两矢量V1与V2正交时,c12=0,即V1·V2=0。2.矢量的分解式中,V1·V2=0。图3.1-4三维空间矢量的分解上述矢量分解的概念可以推广到n维空间。由n个相互正交的矢量组成一个n维的矢量空间,而正交矢量集{V1,V2,…,Vn}为n维空间的完备正交矢量集。n维空间的任一矢量V,可以精确地表示为这n个正交矢量的线性组合,即3.1.2信号的正交分解设f1(t)、f2(t)均为复函数,此时,c12也可能为一复数系数。式中,“*”代表取共轭复数。将上式右边展开,得根据该式,上式中,据平方误差的定义知Ee≥0,式中惟一可供选择的参数为c12。为使Ee最小,只有选择c12=B,于是有2.信号的正交展开用一个在区间(t1,t2)上的正交函数集｛gi(t)｝中各函数的线性组合就可逼近定义在(t1,t2)区间上的信号f(t),即同样可以导出,欲使平方误差最小,其第r个函数gr(t)的加权系数cr应按下式选取:定理3.1-1设｛gi(t)｝在(t1,t2)区间上是关于某一类信号f(t)的完备的正交函数集,则这一类信号中的任何一个信号f(t)都可以精确地表示为｛gi(t)｝的线性组合,即定理3.1-2在式(3.1-14)条件下,平方误差Ee=0,由(3.1-13)式有3.2周期信号的连续时间傅里叶级数上述正交三角函数集中,当n=0时,cos0°=1,sin0°=0,而0不应计在此正交函数集中,故一正交三角函数集可具体写为式中,Ω=2π/T称为基波角频率,a0/2,an和bn为加权系数。式(3.2-5)就是周期信号f(t)在(t0,t0+T)区间的三角傅里叶级数展开式。由于f(t)为周期信号,且其周期T与三角函数集中各函数的周期T相同,故上述展开式在(-∞,∞)区间也是成立的。可得加权系数:例如,可取t0=0,t0=-T/2等等。显然,an为nΩ的偶函数,bn为nΩ的奇函数,即例3.2-1求图示信号的傅里叶级数展开式。解据式(3.2-6),在本题中我们取t0=0,则有考虑到上式中Ω=2π/T,则an=0。同样可得据式(3.2-10)有在式(3.2-6)中,若取t0=-T/2,则有当f(t)为t的奇函数时,则有f(t)cosnΩt为t的奇函数,f(t)sinnΩt为t的偶函数,因而有:当f(t)为t的偶函数时,由于f(t)cosnΩt为t的偶函数,f(t)sinnΩt为t的奇函数。据式(3.2-13)有3.2.2指数形式的傅里叶级数式中,相关系数Fn指数傅里叶级数还可以从三角傅里叶级数直接导出。因为cosθ=(ejθ+e-jθ)/2,将这一关系应用于式(3.2-9),并考虑到An是n的偶函数,φn是n的奇函数,即An=A-n,φn=-φ-n,则式(3.2-9)可写为一般来说Fn亦为一复数,即3.3周期信号的频谱3.3.1周期信号的频谱
周期信号的复振幅 一般为nΩ的复函数,因而描述其特点的频谱图一般要画两个,一个称为振幅频谱,另一个称为相位频谱。所谓振幅频谱为以ω为横坐标,以振幅为纵坐标所画出的谱线图;而相位频谱则为以ω为横坐标,以相位为纵坐标所得到的谱线图。在信号的复振幅 为nΩ的实函数的特殊情况下,其复振幅n(Fn)与变量(nΩ)的关系也可以用一个图绘出。例3.3-1其余图3.3-1例3.3-1信号的频谱
振幅谱;
(b)相位谱图3.3-2例3.3-1信号的双边频谱
(a)振幅谱;(b)相位谱为得到该信号的频谱,先求其傅里叶级数的复振幅。取样函数定义为图3.3-4Sa(x)函数的波形图3.3-5周期矩形脉冲信号的频谱由图3.3-5可以看出,此周期信号频谱具有以下几个特点:
第一为离散性,此频谱由不连续的谱线组成,每一条谱线代表一个正弦分量,所以此频谱称为不连续谱或离散谱。
第二为谐波性,此频谱的每一条谱线只能出现在基波频率Ω的整数倍频率上,即含有Ω的各次谐波分量,而决不含有非Ω的谐波分量。
第三为收敛性,此频谱的各次谐波分量的振幅虽然随nΩ的变化有起伏变化,但总的趋势是随着nΩ的增大而逐渐减小。当nΩ→∞时,|Fn|→0。图3.3-6不同τ值时周期矩形信号的