让椭圆圆起来教学研究—教育论文【课题立项】.doc

10让椭圆圆起来教学研究—教育论文【课题立项】让椭圆“圆”起来认识数学中的不变性1．问题引入（2003年高考数学北京卷第18题）如图1椭圆的长轴与x轴平行短轴在y轴上中心为。（I）写出椭圆的方程求椭圆的焦点坐标及离心率。（II）直线交椭圆于两点、；直线交椭圆于两点、。求证：（III）对于（II）中的点C、D、G、H设CH交x轴于点PGD交x轴于点Q求证：。（证是明过程不考虑CH或GD垂直于x轴的情形）本题主要考查直线与椭圆的基本知识所用方法只涉及教材中最基本的“三点共线问题”和“直线斜率公式”。解：（I）略。（II）证明：将直线CD的方程代入椭圆方程得整理得根据根与系数关系得：所以①将直线GH的方程代入椭圆方程同理可得②由①②得所以结论成立。（III）证明：如图2设点、由C、P、H共线得解得由D、Q、G共线得解得由变形得所以即2溯源及推广在解答上述高考题第（III）问时很容易联想到圆中的蝴蝶定理：设M为圆内弦PQ的中点过M作弦AB和CD设AD、BC分别交PQ于点X和Y则M为线段XY的中点（图3）。上述试题将著名的圆的蝴蝶定理“嫁接”到椭圆中让学生充分领悟到数学美的所在其证明过程及结果告诉我们：椭圆中蝴蝶定理依然成立。当椭圆的长轴、短轴相等时椭圆就变成了圆。反之由于椭圆可以看作是一个圆经过压缩（伸缩变换——仿射变换的一种）而得伸缩变换可以改变长度改变角的大小但变换后直线还是直线线段仍是线段点在线上的“位置关系”不变线段的中点变换后仍是线段中点。这是图形经伸缩变换后具有相当稳定的性质也就是变换之中的不变性所以椭圆的蝴蝶定理也成立。从这个角度看上述高考题的构思就显得简单了。进一步我们可将圆的蝴蝶定理推广到一般的圆锥曲线。结论1：在圆锥曲线中过弦AB的中点M任作两条弦CD和EF直线CE与DF交直线AB于点P、Q则有3问题拓展让椭圆“圆”起来苏教版《数学4-2》（选修）《矩阵与变换》研究了矩阵变换后图形的变化性质。椭圆在矩阵对应的伸压变换下“圆”起来变成了圆。在此矩阵变换下：C1上的点、、对应的变为、、。可以证明变换中有如下相对稳定的结论：（1）若直线AB的斜率为k则直线的斜率；（2）若点A、B、C三点共线则点三点也共线；（3）若点C为线段AB的中点则点为线段的中点；（4）线段AB、的长度、满足：让椭圆“圆”起来后椭圆中很多看似复杂的问题因为圆中稳定的结论而变得简单了。例1（2009年清华大学自主招生题）如图4过椭圆的端点作直线l交椭圆于P交y轴于Q过原点作交椭圆于R。求证：成等比数列。分析：让椭圆变起来。在矩阵对应的变换作用下上述椭圆变成了圆中过直径AB的左端点A作直线l交圆C于P交y轴于Q。求证：成等比数列。考虑如下一道题：如图5圆中过直径AB的左端点A作直线l交圆C于P交y轴于Q。求证：成等比数列。根据相似上述结论很容易证明。由上可知在矩阵对应的变换作用下椭圆变成了圆。椭圆中原有的线与线之间的平行关系、点在线上等性质得以保持直线的斜率的大小以及两点间的距离发生改变。证明过程从略。正因为椭圆“圆”了起来使得原来隐于椭圆内的一些几何关系得以显性化进而把隐性的解题经验算法化。例2（2011年高考数学江苏卷第18题）如图6在平面直线坐标系中M、N分别是椭圆的顶点过坐标原点的直线交椭圆于P、A两点其中点P在第一象限。过P作x轴的垂线垂足为C。联结AC并延长交椭圆于点B。设直线PA的斜率为k。（I）若直线PA平分线段MN求k的值；（II）当k=2时求点P到直线AB的距离d；（III）对任意的求证：.本文第（I）、（II）问解略以下考虑第（III）问.对椭圆在矩阵的变换作用下得到圆如图7所示。设椭圆中变换后相应的点依次为则。要证只要证如图7由是直径得故只需证即只要证此式显然成立。说明：（1）注意到P、O、A三点共线及A、C、B三点共线椭圆变换成圆后成了圆的直线直击问题的本质简化了运算。（2）另解如则只要证由于又在中从而即得证。从以上两例可看出利用伸缩变换让椭圆“圆”起来充分利用变换过程中不变的性质化难为易。有了这些变化中不变的东西使隐蔽的规律暴露出来就能用变换的办法去解决问题了。4认识数学中的不变性4.1数学是变与不变的矛盾统一世界万物都在不断的运动变化变化是绝对的静止是相对的变与不变反映了客观事物运动变化与相对静止的两种不同状态。数学研究数量和图形的变化更研究其中的不变因素。中小学数学随处可见各种变化：代数式的变形、方程的变式、图形的变换、方程与曲线、极限与求异等等。在纷繁的变化中如能把握某些变化中的不变量和不变性质就抓住了这些事物的本质。数学家的眼睛常常