知识精讲高二数学（理）定积分及其应用（理）人教实验版（A）.doc

高二数学（理）定积分及其应用（理）人教实验版（A）
【本讲教育信息】
一.教学内容：
定积分及其应用

二.重点、难点：
1.基本积分表
（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
（6）
（7）
（8）
2.运算公式
（1）
（2）
（3）
3.

【典型例题】
[例1]若曲线在x处的导数为且曲线经过点A（1，3），求解析式。
解：，过A∴∴

[例2]求下列不定积分。
（1）

（2）

[例3]求下列定积分
（1）

（2）
∵
∴

[例4]，为何值时，M最小。
解：

∴时，

[例5]已知，，试求的取值范围。
解：

即
设∴为方程
两根
∴或
∴

[例6]求抛物线与直线所围成的图形的面积。
解：由∴A（1，－1）B（9，3）

[例7]求由抛物线，所围成图形的面积。
解：

[例8]由抛物线及其在点A（0，－3），B（3，0）处两切线所围成图形的面积。
解：，∴P（）

[例9]曲线C：，点，求过P的切线与C围成的图形的面积。
解：设切点，则
切线：过P（）
∴

∴A（0，1）
∵∴
∴B（）
∴

[例10]抛物线在第一象限内与直线相切。此抛物线与x轴所围成的图形的面积记为S。求使S达到最大值的a，b值，并求。
解：依题设可知抛物线为凸形，它与x轴的交点的横坐标分别为，所以（1）
又直线与抛物线相切，即它们有唯一的公共点
由方程组
得，其判别式必须为0，即
于是，代入（1）式得：
令；在时得唯一驻点，且当时，；当时，。故在时，取得极大值，也是最大值，即时，S取得最大值，且
，代入，代城

【模拟试题】
1.将和式的极限表示成定积分（）
A.B.C.D.
2.下列等于1的积分是（）
A.B.C.D.
3.（）
A.B.C.D.
4.已知自由落体运动的速率，则落体运动从到所走的路程为（）
A.B.C.D.
5.曲线与坐标所围成的面积（）
A.4B.2C.D.3
6.（）
A.B.C.D.
7.求由围成的曲边梯形的面积时，若选择x为积分变量，则积分区间为（）
A.B.[0，2]C.[1，2]D.[0，1]
8.由直线，及x轴围成平面图形的面积为（）
A. B.
C. D.
9.如果1N力能拉长弹簧，为将弹簧拉长6cm，所耗费的功是（）
A.0.18B.0.26C.0.12D.0.28
10.将边长为1米的正方形薄片垂直放于比彼一时为的液体中，使其上距液面距离为2米，则该正方形薄片所受液压力为（）
A.B.C.D.
11.将和式表示为定积分。
12.曲线，所围成的图形的面积可用定积分表示为。
13.由及x轴围成的介于0与之间的平面图形的面积，利用定积分应表达为
。
14.计算下列定积分的值。
（1） （2）
（3） （4）
15.求曲线与轴所围成的图形的面积。
16.设是二次函数，方程有两个相等的实根，且。
（1）求的表达式；
（2）求的图象与两坐标轴所围成图形的面积；
（3）若直线（把）的图象与两坐标轴所围成图形的面积二等分，求的值。

[参考答案]
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1.B2.C3.C4.C5.D6.D7.B8.C9.A10.A
11.12.13.
14.（1）
（2）=
（3）
（4）
15.解：首先求出函数的零点：，又易判断出在（－1，0）内，图形在x轴下方，在（0，2）内，图形在x轴上方，
所以所求面积为
16.解：（1）设，则
又已知∴∴
又方程有两个相等实根∴判别式，即
故
（2）依题意，有所求面积
（3）依题意，有
∴
，
∴，于是