高二数学高考复习：导数的应用（理）人教实验版（B）知识精讲.doc

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高二数学高考复习：导数的应用（理）人教实验版（B）

【本讲教育信息】
一.教学内容：
高考复习：导数的应用

二.教学目的：
通过高考或模拟题实例探究导数在高考中的应用

三.知识分析：
【考点综述】
有关导数的内容，在2000年开始的新课程试卷命题时，其考试要求都是很基本的，以后逐渐加深，考查的基本原则是重点考查导数的概念和计算，力求结合应用问题，不过多地涉及理论探讨和严格的逻辑证明，而近几年高考试题的设计，特别是2007年试题更突出凡函数大题必与导数结合这一特征。本部分的要求一般有三个层次：第一层次是主要考查导数的概念，求导的公式和求导法则；第二层次是导数的简单应用，包括求函数的极值、单调区间、证明函数的增减性等；第三层次是综合考查，包括解决应用问题，将导数内容和传统内容中有关不等式和函数的单调性等有机地结合在一起，设计综合题，通过将新课程内容和传统内容相结合，加强了能力考查力度，使试题具有更广泛的实际意义，更体现了导数作为工具分析和解决一些函数性质问题的方法，这类问题用传统教材是无法解决的。

【例题探究】
【例1】已知函数f（x）＝x3＋3ax2＋3（a＋2）x＋1既有极大值又有极小值，则实数a的取值范围是。
考查目的：考查导数的运算及利用导数知识求函数的极值等基本知识和分析问题、解决问题的能力。
解析：∵f′（x）＝3x2＋6ax＋3a＋6，令f′（x）＝0，则x2＋2ax＋a＋2＝0
又∵f（x）既有极大值又有极小值
∴f′（x）＝0必有两解，即△＝4a2－4a－8＞0
解得a＜－1或a＞2。
探究：本题通过求函数的导数，将函数问题转化为一元二次方程来探究，充分体现了函数与方程相互转化的解题思想与解题策略。

【例2】设函数f（x）＝ax3－2bx2＋cx＋4d（a、b、c、d∈R）的图象关于原点对称，且x＝1时，f（x）取得极小值－。
（1）求a、b、c、d的值；
（2）当x∈[－1，1]时，图象上是否存在两点，使得过此两点的切线互相垂直？试证明你的结论；
（3）若x1，x2∈[－1，1]时，求证：|f（x1）－f（x2）|≤。
考查目的：本题主要考查导数的几何意义、导数的基本性质和应用、绝对值不等式以及综合推理能力。
解析：（1）∵函数f（x）的图象关于原点对称，∴对任意实数x，都有f(－x)＝－f（x）．
∴－ax3－2bx2－cx＋4d＝－ax3＋2bx2－cx－4d，即bx2－2d＝0恒成立。
∴b＝0，d＝0，即f（x）＝ax3＋cx．∴f′（x）＝3ax2＋c。
∵x＝1时，f（x）取得极小值－．∴f′（1）＝0且f（1）＝－，
即3a＋c＝0且a＋c＝－．解得a＝，c＝－1．
（2）证明：当x∈[－1，1]时，图象上不存在这样的两点使结论成立，假设图象上存在两点A（x1，y1）、B（x2，y2），使得过这两点的切线互相垂直，
则由f′（x）＝x2－1，知两点处的切线斜率分别为k1＝x12－1，k2＝x22－1，
且（x12－1）（x22－1）＝－1．（*）
∵x1、x2∈[－1，1]，∴x12－1≤0，x22－1≤0
∴（x12－1）（x22－1）≥0，这与（*）相矛盾，故假设不成立．
（3）证明：∵f′（x）＝x2－1，由f′（x）＝0，得x＝±1．
当x∈（－∞，－1）或（1，＋∞）时，f′（x）＞0;当x∈（－1，1）时，f′（x）＜0．
∴f（x）在[－1，1]上是减函数，且fmax（x）＝f（－1）＝，fmin（x）＝f（1）＝－．
∴在[－1，1]上，|f（x）|≤．
于是x1，x2∈[－1，1]时，|f（x1）－f（x2）|≤|f（x1）|＋|f（x2）|≤＋＝．
故x1，x2∈[－1，1]时，|f（x1）－f（x2）|≤．
探究：①若x0点是y＝f（x）的极值点，则f′（x0）＝0，反之不一定成立；
②在讨论存在性问题时常用反证法；
③利用导数得到y＝f（x）在[－1，1]上递减是解第（3）问的关键．

【例3】已知平面向量＝（，－1）．＝（，）．
（1）证明⊥；
（2）若存在不同时为零的实数k和t，使＝＋（t2－3），＝－k＋t，⊥，试求函数关系式k＝f（t）；
（3）据（2）的结论，讨论关于t的方程f（t）－k＝0的解的情况．
考查目的：本题考查向量的性质与计算、函数的导数与函数的图象、函数的图象与方程根的个数间的关系以及综合应用能力。
解析：（1）∵＝×＋（－1）×＝0∴⊥．
（2）∵⊥，∴＝0即[＋（t2－3）]·（－k＋t）＝0．
整理后得－k＋[t－k（t2－3）]＋（t2－3）·＝0
∵＝0，＝4，＝1，
∴上式化为－4k＋t（t2－3）＝0，即k＝t（t2－3）
（3）讨论方程t（t2－3）－k＝0的解的情况，可以看作曲线f（t）＝t（t2