高二数学（理）导数的应用人教实验版（B）知识精讲.doc

高二数学（理）导数的应用人教实验版（b）【本讲教育信息】一.教学内容：导数的应用二.教学目的1、掌握利用导数判断函数的单调性及利用导数研究函数极值的方法；2、掌握导数的实际应用．三.教学重点、难点1、利用导数判断函数的单调性及利用导数研究函数极值的方法；2、导数的实际应用．四.知识分析（一）函数的单调性1、设函数y＝f（x）在区间（a，b）可导，（1）若对于任意x∈（a，b），均有f'（x）>0，则f（x）是增函数．（2）若对于任意x∈（a，b），均有f'（x）<0，则f（x）是减函数．（3）若对于任意x∈（a，b），均有f'（x）＝0，则f（x）为常函数．2、求可导函数单调区间的一般步骤和方法．（1）确定函数f（x）的定义域．（2）求f'（x），令f'（x）＝0，解此方程，求出它在定义域内的一切实根．（3）把函数f（x）在间断点（即f（x）的无定义点）的横坐标和上面的各实根按由小到大的顺序排列起来，然后用这些点把函数f（x）的定义区间分成若干个小区间．（4）确定f'（x）在各小开区间的符号，根据f'（x）的符号判定函数f（x）在每个相应小开区间内的增减性．（二）函数的极值1、极值的定义若对于附近所有的点，都有，则称是函数y＝f（x）的一个极大值，记作；若对于附近所有的点，都有，则称是函数y＝f（x）的一个极小值，记作；极大值与极小值统称为极值，使函数取得极值的点称为极值点．2、函数有极值的必要条件设函数y＝f（x）在xo处有导数，且，［或］，则f'（x）＝0．注意：导数为0的点不一定是极值点．如:f（x）＝x3的导数f'（x）＝3x2在x＝0时为0，但显然它不是极值点．3、判别极值的方法（1）若在左侧，右侧，则．（2）若在附近的左侧，右侧，则．（3）若在点附近的左侧和右侧均有．（或），则f(x)在处无极值．（三）函数的最值1、要准确、深刻地理解函数最值的概念，揭示函数最值与极值的区别与联系．（1）函数的极值是在局部范围内讨论问题，是一个局部概念，而函数的最值是对整个定义域而言，是在整体范围内讨论问题，是一个整体性的概念．（2）闭区间上的连续函数一定有最值，开区间内的可导函数不一定有最值，若有唯一的极值，则此极值必是函数的最值．（3）函数在其定义区间上的最大值、最小值最多各有一个，而函数的极值则可能不止一个，也可能没有极值．（4）如果函数在闭区间[a，b]上可导，则确定函数的最值时，不仅比较该函数各导数为零的点与端点处的值，还要比较函数在定义域内各不可导的点处的值．（5）在解决实际应用问题中，如果函数在区间内只有一个极值点，那么要根据实际意义判定是最大值还是最小值即可，不必再与端点的函数值进行比较．2、一般地，求函数f（x）在[a，b]上的最大值与最小值的步骤如下：（1）求函数y＝f（x）在（a，b）内的极值．（2）将函数y＝f（x）的各极值与端点处的函数值f（a），f（b）比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．【典型例题】例1.确定下列函数的单调区间．（1）；（2）；（3）．解析：（1）由，由，∴增区间为（）；减区间为．（2）由，由．∴增区间是；减区间是（2，4）．（3）当，当，∴增区间是（）；减区间是（）．点评：一般情况下，解此类问题，只需由即可得出结论，但要注意函数的定义域．例2.求函数的值域．解析：，由得，∴对任意，∴函数上单调递减．∴．∴所求函数值域为[3，]．点评：本题实际上是利用求导判断函数单调性，再利用函数单调性求值域．例3.已知x>0，证明不等式：．解析：设函数．当恒成立．∴f(x)在（0，）为增函数．又f(x)在x＝0连续．∴f(x)在[0，为增函数．∴当x>0时，有，即有，∴．点评：本题的精彩之处在于巧妙构造函数，利用函数单调性证明不等关系．例4.求下列函数的极值：（1）（2）解析：（1）由，列表如下：∴当；当x＝0时，．（2）∴，且f(x)在x＝－2和x＝3处均不可导．再由f(x)＝0，得列表如下：∴当x＝－2或3时，；当时，．点评：求函数的极值一般根据分析中的结论进行求解，但要注意象例题中的（2）题所出现的x＝－2，3处，并无成立．例5.求函数的极值，并结合单调性、极值作出该函数的图象．解析：函数的定义域为．当x变化时，、y的变化情况如下表：因此当x＝－2时，，当x＝2时，由表易知的草图应为下图，．点评：（1）列表时应将定义域内的间断点（如x＝0）考虑进去；（2）极大值不一定比极小值大，这是因为极值是相对某一领域讨论的；（3）借助函数的性质（如奇偶性、单调性、极值、周期等）研究函数图象是重要手段．例6.已知，在时取得极值，且．（1）求a，b，c的值；（2）判断是函数的极大值还是极小值．解析：（1）∴有得解得：．（2）当x在－1左侧时，；右侧时，，故f(x)在x＝－1处取极大值