高二数学寒假专题—导数的综合应用与高考（理）人教实验版（B）知识精讲.doc

高二数学寒假专题—导数的综合应用与高考（理）人教实验版（B）【本讲教育信息】一.教学内容：寒假专题——导数的综合应用与高考二.知识分析【命题趋势】导数是高中数学的重点内容之一，也是高考的考查重点，在历年高考试题中占有较大的比重，它除了考查导数的基础知识、基本运算，还利用导数思想和方法解决难度较大的综合题．如研究函数的性质（单调性、极值和最值），解决实际生活中的利润最大、用料最省、效率最高等优化问题．【高考预测】随着高考的逐步完善，结合考题特点，涉及本章知识的试题仍会以选择、填空题的形式出现，主要考查导数的意义和运算；解答题主要以导数的意义为主线，以基本初等函数，实际应用为背景的应用题、开放性问题为主要题型；也有一些与几何、代数、三角、解析几何等有关知识结合在一起的综合性题目．这些题目具有构思巧妙、独特新颖、解法灵活等特点，成为近几年新教材高考卷的一大热点，根据近年的高考试题，可以预测以后的高考中导数的应用仍会以中档题（甚至上升为把关题）的形式出现。定积分是新增内容，预测分割、近似替代、作和、求极限的思想将在高考题中体现，曲边形的面积、变力做功、变速直线运动的路程等实际问题将在选择、填空题中出现，本类考题，估计是中档或者容易题．【应用分析】涉及导数与定积分知识的应用问题、综合问题，关键是深刻理解导数与定积分的原始概念，理清应用问题、综合问题的基本要求，最终借用导数或定积分来解决．例1、已知x、y为正实数，且满足关系式，求的最大值．分析：题中有两个变量x和y，首先应选择一下主要变量，将x，y表示为某一变量（x或y或其他变量）的函数关系，实际问题的转化，同时根据题设条件确定变量的取值范围，再利用导数（或均值不等式等）求函数的最大值．解：方法1：由解得设当时，令，得或x=0（舍），又∴函数的最大值为即x·y的最大值为。方法2：由得设，设则令，得或，此时即当时，例2.求抛物线及所围成图形的面积。解：如图所示，两曲线交两点，由，得交点（0，2），（0，－2）且两抛物线关于y轴是对称图形。所以它们围成的面积是它们在第一象限围成面积的4倍。例3.设函数。命题p：函数在上是增函数；命题q：不等式对一切恒成立。如果两个命题p和q中有且只有一个为真命题，求实数a的取值范围。解：对一切恒成立对一切x≥1恒成立∵p和q中有且只有一个真命题，当p真q假时；当p假q真时a不存在综上：a的取值范围是。例4.已知a>0，函数：（1）求函数f(x)的最小值。（2）证明：解：（1）令得当时，故在［0，a］上递减。当x>a，，故f(x)在（a，+∞）上递增。所以，当x=a时，f(x)的最小值为（2）由b>0，有即故【部分高考题选析】样题一（2005·广东）函数的减区间为（）。A.（2，+∞）B.（－∞，2）C.（－∞，0）D.（0，2）解答要点：选D。，设，得。样题二（2005·湖北）在函数的图象上，其切线的倾斜角小于的点中，坐标为整数的点的个数是（）A.3B.2C.1D.0解答要点：选A。，依题意，，得，故整数x有－1，0，1三个，坐标为整数的点也有三个。样题三（2005·湖南·理）设，…，，则的值为（）A.B.C.D.解答要点：选C。，所以。样题四（2005·江西·理7）已知函数的图象如图所示，（其中是函数的导函数），则的图象大致是下图中的（）ABCD解答要点：选C。从上图可知：x<－1时，；时，；时；x>1时故（－∞，－1）时，为增函数，（－1，1）时为减函数，（1，+∞）时f(x)为增函数，故选C。样题五（2005·北京·理）过原点作曲线的切线，则切点的坐标为_________，切线的斜率为__________。解答要点分别填（1，e）；e。因为，设切点为（），则切线方程为，代入（0，0）得。样题六（2005·湖南）设t≠0，点P（t，0）是函数与的图象的一个公共点，两函数的图象在点P处有相同的切线。（1）用t表示a，b，c；（2）若函数在（－1，3）上单调递减，求t的取值范围。解答要点（1）因为函数f(x)，g(x)的图象都过点（t，0），所以，即。因为t≠0，所以又，即，所以c=ab。又因为在点（t，0）处有相同的切线，所以而，所以。将代入上式得。因此c=ab。故。（2）方法1：当时，函数单调递减。由，若>0，则；若t<0，则。由题意，函数在（－1，3）上单调递减，则（－1，3）或（－1，3）（t，）所以t≥3或t≤－9。所以t的取值范围为。方法2：因为函数在（－1，3）上单调递减，且是（－1，3）上的抛物线，所以，即解得所以t的取值范围为。样题七（2005·重庆·理）已知a∈R，讨论函数的极值点的个数。解答要点令得当即a<0或a>4时，方程有两个不同的实根，不妨设，于是，从而有下表：（）（）+0－0+为极大值为极小值即此时有两个极值点。（