高中数学 运用主元思想 探究解题途径 学法指导.doc

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高中数学运用主元思想探究解题途径学法指导
史建军

根据具体条件和解题需要，从不同的角度出发，在众多变元中选用一个变元为主元，并以此为线索把握解决问题的方法叫做主元法。许多数学问题，都含有常量、参量和变量（统称为元素），这些元素中，必有某个元素在问题中处于突出的、主导的地位，我们在解题时把这个元素看作主元。那么，如何灵活的选择主元从而用主元法解题？实施主元法解题的技巧有哪些？本文就此作一些探讨。
一、抓住特征，确立主元
在众多变元中，选择其中一个变元为主元，视其他变元为参量，突出主要矛盾，淡化次要矛盾，促成问题转化。
例1.已知且。
求证：。
解析：条件中有3个变量，却只有两个等式，证明似乎无从下手。考虑到本题是一个多变量问题，因此可先减少变元的个数，由代入可得：，选择变量x为主元，视y为参数，则上式可化为关于x的二次三项式即：
（*），
以上述方程有实数解为突破口，证明思路便十分清楚。
在上述方程（8）中，因为，
即
。
所以，所以，同理可得：。
所以。
评注：解决一个多变元问题，其关键是减少变元个数，由条件代入可消去一部分变元，但未必能达到最终变“多元”为“一元”的目的。此时，若选择其中一个变元为主元，视其它变元为参量，则能突出主要矛盾，变“多元”问题为“一元”问题。

二、集中变量，整体消元
在处理多变元问题时，选取含有若干变元的表达式为主元一一集中变元，通过消去主元（或非主元）逐步减少变元个数，达到解决问题的目的。
例2.设，求的值。
解析：根据一个等式求两个变量的值，思路受阻，因此进行三角变换式是首要工作。
由已知等式，得：
（*）
若视为主元，则（*）式为为一元二次方程。
由方程（*）有实数解，得：
，即。
又，故。
因为，
所以。
所以，即。
当时，（*）式即为。
而所以，
评注：上述由条件到（*）的变形，使原来的这两个“游离”的变元“集中”为这一个变元（主元），减少了变元个数，使问题豁然开朗。

三、轮流做主，各个击破
在处理多变元问题时，可在不同的解题阶段确立不同的主元，视其它变元为参数，从而突破参数之间的相互制约，化多元问题为一元问题。
例3.对任意，（r为常数）恒成立的充要条件是什么？
分析：易知当时，成立的充要条件是A=0且B=0，由此可用主元法采取轮流做主，各个击破的策略求解。
解：不妨先以x为主元整理有：
①
当时①恒成立的充要条件是且
②
再以y为主元，整理②有：，同理可得：且
③
又以z为主元整理③有：，同样可得：。
综上所述，可得（r为常数）对任意恒成立的充要条件是：且。

四、反客为主，化难为易
在处理含有参数与主变量的有关问题时，突破思维定势，选取参变量为主元，而视原来的“主元”为参量，反客为主，化难为易，化繁为简。
例4.设方程上有实根，求的取值范围。
解析：本题若直接由条件出发，利用实根分布条件求出满足的条件，即在aOb坐标平面内表示的区域，再视。为区域内点与原点距离的平方，以此数形结合方法，亦可获解，但过程很繁琐。考虑到变量a，b是我们要面对的主变量，故我们反客为主，视方程为aOb坐标平面上的一条直线：l：为直线上的点，则即为，设d为点O到直线l的距离，由几何条件知：

因为，令，所以。
且易知函数上为增函数，所以
。
等号成立的条件是即。
当
；当
所以当，
。
评注：同样是数形结合，但显然变换主元后的数形结合更简洁。所以在一个含有多个变量的问题中，“主”和“客”是相对而言的，“客随主便”理所当然，但“喧宾夺主”也未尝不可。

五、变中求定，固定主元
在处理含有多变元的轮换对称问题时，固定某一变元——主元，突出矛盾的主要方面，可将原题化归为基本的，熟悉的问题来处理。
例5.在中，求的最大值。
分析：为轮换对称式，即A、B、C的地位相同，因此可选一个变元为主元，将其看作常量（固定），减少变元个数，化陌生为熟悉。
解：在中，有，
。
所以，

固定A，由于，所以当即时，y达到最大值且：

因为，
所以同时达到最大值，而
因为，
且（定值）
所以当时即得最大值。
故当时，。
评注：变形后选择A为主元，先固定A的值，把B、C看作变量，目的在于把B、C这两个变量集中到，然后利用的最大值为1将其整体消元，最后再回到A这个主元，变中求定，以退为进。

六、分离参数，极值探求
在处理含有参数与主变量的有关问题时，选取主变量为主元，分离参数，将原题化为可用极值来探求的恒成立问题，从而为解题创造有利条件。
例6.（2002全国高考压轴题）已知。
（1）当时，若对任意都有，证明：；
（2）当时，证明；对任意，的充要条件是：；
（3）当时，讨论，对任意的充要条件。
分析：本题的3个小问中均涉及“恒成立”问题，因此可考虑用分离参数法探求，若视b为参