高中数学主元思想在含参问题中的应用学法指导.doc

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高中数学主元思想在含参问题中的应用
余红丹

含参数问题通常含有两个或两个以上变元，我们在解题中可视其中一个为主元，其余视为参数，化多元问题为一元问题，常可降低思维难度。

1.主元与次元互换
一般地，可把已知范围的那个量看作自变量，另一个看作常量。

例1.对于的一切实数，不等式恒成立，求x的取值范围。
分析：习惯上把x当作自变量，记函数y＝，于是问题转化为当时，恒成立，求x的范围。解决这个问题需要应用二次函数以及二次方程实根分布原理，这是比较复杂的。若把x与p两个量互换一下角色，即将p视为变量，x为常量，则上述问题可转化为关于p的一次函数在[0，4]内大于0恒成立的问题。
解：设。
显然时不满足题意，
由题设知当时，恒成立，
所以只要，且
即且
解得或

例2.设方程上有实根，求的取值范围。
分析：本题若直接由条件出发，利用实根分布条件求出a，b满足的条件，视为区域内点与原点距离的平方，以此数形结合，亦可获解，但过程繁琐。考虑到变量a，b是主变量，反客为主，视方程为aob坐标平面上的一条直线l：，P（a，b）为直线上的点，则即为|PO|2，设d为点O到直线l的距离，由几何条件知

因为，令，
则，
且易知函数在上为增函数。
所以

即。

2.常元与变元互换
在一个含有变元的式子中，有时将常数视为变元，也即将主要变元视为常数，可产生出乎意料的解题效果。
例3.已知，，求证。
证明：令，于是得到关于x的方程①。若，由已知，知方程①的判别式。所以方程①有两个相等的实根，
所以
所以
所以
即
若，则由题设两式易知，，可见也成立。
点评：本题若用三角公式证明，不仅代换复杂，而且很难找出A、B、C之间的关系。这里注意观察条件，发现是方程＋的两个相等实数根，从而利用判别式和韦达定理的知识使本题获解。

例4.已知二次方程＝0中的a为正整数，问a取何值时，此方程至少有一个非负整数根。
分析：按常规，先求出方程的根，再由此式讨论方程至少有一个非负整数根的条件，这是较为困难的。若把a视为主元，解法将变得易行。
解：把a视为主元，则方程可改写为关于a的一次方程，于是。
因为a为正整数，所以
即
解得
又x是非负整数，所以，或，而当x＝0时，；x＝1时，a＝1。故当a＝1时，此方程至少有一个非负整数根。

3.多元问题确定主元
含多个参数的问题，可适时确立不同的主元，以达到求解之目的。

例5.已知，集合A＝[－1，1]，设关于x的方程的两根为，试问是否存在实数m，使得不等式对任意恒成立？若存在求出m的取值范围，若不存在请说明理由。
分析：本题含有3个参数a，m，t，可在不同解题阶段确立不同的主元，隐去另两个参数，从而将问题解决。
解：由得

因为
所以
又

而
所以
由不等式恒成立
所以，
即恒成立。
记，
则恒成立
所以
得
所以存在实数m满足题意。

例6.已知由长方体的一个顶点出发的三条棱长之和为1，表面积为，求长方体的体积的最值。
解：设三条棱长分别为x，y，z，则长方体的体积V＝xyz。由题设有

所以
故体积V（x）
下面求x的取值范围。
因为，
所以y、z是方程的两个实根。
由
因为

所以当时，；
当时，。
评析：解决本题的关键在于确定目标函数时，根据相关条件的特征，构造了二次方程，并由此得出定义域使问题得解。