高中数学利用补集思想解题学法指导.doc

用心爱心专心

利用补集思想解题
张晓静

有些集合问题从正面处理较难，一是解题思路不明朗，二是需要考虑的因素太多，要分多种情况讨论，运算量大，且讨论不全又容易出错。如果补集思想考虑其对立面，可以达到化繁为简的目的。
例1已知集合，求时，实数k的取值范围。
分析：不难发现的情况太多，若正面解此题，就需要一一列举出来分别讨论，然后再求其并集。这样，考虑不周全与运算量大容易出错是必然的，但“≠”的反面很简单，即从问题的反面去思考探索，就容易得到正面结论。
解：若，则。
当Q＝时，满足，此时，解得
当时，要使，则应有
解得所以k的解集为。
综上，当时，且，所以当时，，且。
即所求实数k的取值范围是。

例2已知一元二次方程且，求m为何实数时，此方程无实数根。
分析：本题若正面求解，可由方程有解且解在的范围内和判别式小于零讨论出m的取值范围，显然运算量大，还需要有一定的技巧。但用补集思想则可避开这些麻烦。
解：设全集为R，集合A＝{m|m为方程无实根时的取值}，则集合{m|m为方程有实根时的取值}，于是，将方程变形整理得。
若方程有实数根，则由，
得，即
由此解得，
即
所以，
所以当或时方程在的范围内无实数根。