高三数学（理）多面体、立体综合 知识精讲 人教版.doc

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高三数学（理）多面体、立体综合知识精讲人教版

一.本周教学内容：
多面体、立体综合

二.重点、难点：
1.
2.
3.多面体、简单多面体、凸多面体
4.正多面体，只有五种（正四、正六、正八、正十二、正二十）
5.欧拉公式：

【典型例题】
[例1]某简单几何体，由16个三角形围成，则这个几何体有个顶点。
解：F=16
∴

[例2]某简单几何体，由三角形围成，有10个顶点，其中四个顶点引出四条棱，6个顶点引出三条棱，则这个几何体有个面。
解：V=10F=9

[例3]正四面体ABCD，棱长均为，则高=，体积，侧棱与底面所成角
，侧面与底面所成角，内切球半径，外接球半径，AB、CD的距离。
解：E为BC中点，H为垂心∴

∴解依次为：，，，，，，

[例4]半径为1的球的内接正四棱柱的体积的最大值。
解：设底面边长为，高为∴

∴
时，

[例5]直三棱柱中，AC=BC=AA1=2，，E、F、G为AC、AA1、AB中点，求证：
（1）面EFG；
（2）求异面直线FG与AC1所成角；
（3）求三棱锥的体积。
解：
（1）面EFG
（2）D为A1C1中点∴∴为与GF所成的角

∴与GF所成角为
（3）（，面EFG）

（A，面GEF）
∴（A，面GEF）=
∴（，面GEF）=∴

[例6]四棱锥棱长均为1，，并且面EAC//PB。
（1）求二面角；
（2）求CE与底面所成角；
（3）求AB、CE所成角；
（4）求四面体EPBC的体积。
解：面ABCD∴连EH
∴E为PD中点
（1）二面角即二面角为
（2）F为DH中点，连EF∴EF//PH∴EF⊥面ABCD
为所求EC∴
（3）AB、CE所成角为
（4）

[例7]等腰梯形ABCD中，CD=12，AB=20，高为，MN为上下底边的垂直平分线，沿MN折成二面角。
（1）求AC、MN所成角；
（2）求AE、MN距离；
（3）求AC与面ADMN所成角。
解：
（1）过C作CE⊥DN于E∴CE//MN∴为所求
NE=6AE=14CE=MN=

（2）过N作NF⊥AE于F，NF为MN、AE公垂线∴
（3）于H∴CH⊥面ADMN为所求
CH=AC=16

[例8]矩形ABCD中，AB=1，BC=，PA⊥面ABCD，PA=1。
（1）为何值时，BC边上存在一点Q，使PQ⊥QD；
（2）当BC上有且仅有一点Q，使PQ⊥QD时，求二面角。
解：
（1）面PAQ
BC上存在点Q以AD为直径的圆与BC有交点
∴
（2）由上，时，仅有一点
∴Q为BC中点，E为AD中点，连QE//AB∴QE⊥面PAD
过E作EH⊥PD于H∴为二面角平面角
QE=1EH=

【模拟试题】（答题时间：45分钟）
1.下列命题①多面体的面数量少为4，②正多面体只有5种，③凸多面体是简单多面体，④一个几何体的表面，经过连续变形为球面的多面体就叫简单多面体，其中正确的个数为（）
A.1B.2C.3D.4
2.正十二面体和正二十面体的棱数分别是（）
A.29，30B.30，30C.30，31D.32，35
3.其正棱锥的底面边长与侧面棱长相等，则该棱锥一定不是（）
A.三棱锥B.四棱锥C.五棱锥D.六棱锥
4.下列各图是正方体或正四面体，P、Q、R、S分别是所在棱的中点，则这四个点不共面的一个图是（）

ABCD
5.一凸多面体的棱数为30，面数为12，则它的各面多边形内角总和为（）
A.B.C.D.
6.正四面体ABCD中，E、F分别是AD、BC的中点，则EF与CD所成的角等于（）
A.B.C.D.
7.一个正面体共有8个顶点，每个顶点处共有3条棱，则等于（）
A.4B.5C.6D.7
8.已知甲烷的分子结构是：中心为一个碳原子，外围有4个氢原子（这四个氢原子构成一个正四面体的四个顶点），设中心碳原子到外围4个氢原子连成的四条线段两两组成的角为，则等于（）
A.B.C.D.
9.若一个简单多面体的各个顶点有三条棱，则=。
10.体积为72的正四面体，连结两个面的重心E、F，则线段EF的长是。
11.以正四面体、正六面体、正八面体的各面的中心为顶点的多面体分别是。
12.下列命题：①多面体的面数最少为4；②正多面体只有5种；③凸多面体都是简单多面体；④一个几何体表面，经过连结变形为球面的就叫简单多面体，其中正确的命题是（注：把你认为正确的命题序号都填上）。
13.连接正方体相邻面的中心，得一个正八面体，那么这个正八面体与正方体体积之比为。

[参考答案]
1.D2.B3.D4.D5.B6.A7.C8.A9.410.
11.正四、正八、正六面体12.①②③④13.