高三数学（理）立体几何中的计算 知识精讲 人教版.doc

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高三数学（理）立体几何中的计算知识精讲人教版

一.本周教学内容：
立体几何中的计算

二.重点、难点：
1.角度
（1）两条异面直线所成角
（2）直线与平面所成角
（3）二面角
2.距离
（1）作垂线
（2）体积转化
3.体积

【典型例题】
[例1]PA、PB、PC两两垂直，与PA、PB所成角为，，求与PC所成角。
解：构造长方体

[例2]正四棱锥中，AB=，SA=，M为SA中点，N为SC中点。
（1）求BN、DM所成角
（2）P、Q在SB、CA上，，求PQ与底面ABCD所成角。

解：
（1）
H为SN中点

∴异面直线MD、BN所成角为

（2）过P作PH//SO交BD于H∴PH⊥面ABCD
∴为PQ与底面所成角
∴
∴

[例3]直二面角，，，AB与所成角为，AB与所成角为，求证：。

证明：过A作AC⊥于C，过B作BD⊥于D∴
∴
∴
∴
当且仅当C、D重合时，

[例4]SA⊥面ABC，AB⊥BC，DE在面SAC内，垂直平分SC，交SC、AC于E、D，若SA=AB=1，BC=，求二面角（1）；（2）。

解：
（1）面DEB
∴为二面角的平面角

∴为二面角的平面角
∴
∵AB=SA=1AC=SC=2
∴BE=1DE=CD=∴

[例5]正方体中，AB=1，求：
（1）D到面D1AC的距离
（2）C到面AB1D1的距离
（3）M为BB1中点，M到面D1AC的距离
（4）AC1与BB1的距离

解：
（1）连
面
过D作DF⊥D1E于F，⊥面D1AC
∴DF为距离

（2）设C到面的距离为
∴

（3）连DM交D1E于H，设M到面D1AC距离为
∴

（4）

[例6]四棱锥，底面ABCD为菱形，AB=2，，PB=PD，PA=PC=，求：
（1）B到面PAD的距离
（2）BC与PA的距离
（3）AC与PD的距离

解：
（1），连PH

面DBE
面PED
BF为所求PB=2
∴BE=DE=BD=2∴BF=
另

（2）（BC，面PAD）=（B，面PAD）=
（3）过H作HM⊥PD于M
为公垂线
，，

[例7]斜四棱柱，棱长均为2，，求四棱柱的体积。
解：过A1作A1H⊥面ABCD于H
∵H在的平分线上
过H作HE⊥AB于E
∴

【模拟试题】（答题时间：60分钟）
1.正四棱锥的侧面是等边三角形，E是PC的中点，则异面直线BE和PA所成的角的余弦值为（）
A.B.C.D.
2.若正三棱锥的斜高是锥高的倍，则棱的侧面积是底面积的（）
A.倍B.2倍C.倍D.3倍
3.侧面为等边三角形的正三棱锥，其侧面与底面所成二面角的余弦值为（）
A.B.C.D.
4.设一个三棱锥的侧面与底面所成的角为，相邻两侧面所成的角为，那么两个角与的三角函数关系是（）
A. B.
C. D.
5.棱锥被平行于底面的平面所截，当截面分别平分截锥的侧棱，侧面积、体积时，相应的截面面积分别为S1、S2、S3，则（）
A. B.
C. D.
6.已知三棱锥的三条侧棱两两互相垂直，SA=5，SB=4，SC=3，D为AB的中点，E为AC的中点，则四棱锥S—BCED的体积是（）
A.10B.C.D.
7.如图所示，已知底面是正方形的四棱锥，其一条侧棱与底面垂直，它的长与底面边长相等，长度均为1，那么该棱锥中最长的棱长是（）
A.B.C.D.3

8.正方体的八个顶点中有四个恰为正四面体的顶点，则正方体的全面积与正四面体的全面积之比为（）
A.B.C.D.
9.过正方体每三个顶点都可以确定一个平面，其中能与这个正方体的12条棱所成的角相等的不同平面有。
10.已知三棱锥的一条棱长为1，其余各棱长皆为2，则此三棱锥的体积为。
11.三棱锥P—ABC的体积为V，AE、BF、CG分别等于所在棱长的、、，则三棱锥P—EFG的体积等于。
12.正四棱锥S—ABCD的高为2，底面边长为，P、Q两点分别在线段BD和SC上，则P、Q两点间的最短距离为。
13.三棱锥P—ABC中，底面为直角三角形，两直角边AC=8，BC=6，又PA=PB=PC=13，则点P到底面ABC的距离为。

[参考答案]
1.A2.B3.D4.C5.A6.B7.B8.B9.810.
11.12.13.12