高三数学（理）多面体与球 知识精讲 人教版.doc

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高三数学（理）多面体与球知识精讲人教版

【本讲教育信息】
一.教学内容：
多面体与球

二.本周教学重、难点：
1.了解多面体，凸多面体，正多面体的概念。
2.了解球的概念，掌握球的性质，表面积，体积公式。

【典型例题】
[例1]如图，地球半径为R，地面上三点A、B、C的经纬度分别是：A点是东经，北纬；B点是东经，北纬；C点是东经，北纬，试求A、B与B、C两点的球面距离。

解：∵A、B纬度均为∴A、B在同一纬线上
设此纬线圈中心为O1由已知有，且
∴
在中，=
在中，
∴∴A、B两点的球面距离等于
∵B、C两点在同一经线上，纬度差为，即
∴BC两点的球面距离等于

[例2]已知正四棱锥的底面边长为，侧棱长为。
（1）求它的外接球的体积；
（2）求它的内切球的表面积。
解：如图

（1）设外接球的半径为R，球心为O，则OA=OC=OS
∴O为的外心，即的外接圆半径就是球的半径
∵AB=BC=∴∵SA=SC=AC=
∴为正三角形
由正弦定理得
因此
（2）设内切球的半径为r
作SE⊥底面于E，作SF⊥BC于F，连结EF
则有

又
∴
∴
∴

[例3]半径为1的球面上有A、B、C三点，其中A和B的球面距离，A和C的球面距离都是，B和C的球面距离是，求球心O到平面ABC的距离。

解：∵球O的半径为1∴A和B的球面距离
∴又OA=OB=1∴
同理，，，，BC=1
由，得OA⊥平面OBC
设所求距离为，则由，知
由此解得

[例4]棱长是的正方体AC1内有两球互相外切，且两球各与正方体的三个面相切。求证：两个球半径之和为常数。

解：如图所示，根据正方体、球均为中心对称图形可知，两球球心O1、O2均在正方体的体对角线AC1上，并且一球与上底面对角线相切，另一球与下底面对角线相切，以此作出其对角面图
设O1、O2半径分别为、，过O1、O2分别作，
则为
∵∴
即∴（常数）

[例5]如图，球心O到截面BCD所在圆心O1的距离为球的半径的一半，BC是截面圆的直径，D为圆周上一点，CA是球O的直径。
（1）求证：平面ABD⊥平面BDC；
（2）如果球的半径为R，D分为两部分，求AC与BD所成角。

解：（1）设球心为O，小圆BCD的圆心为O1
由题知∵AC是球的直径∴AB⊥BC
又∵AB//OO1∴AB⊥面BCD而AB面ABD∴面ABD⊥面BDC
（2）由D分为两部分，知

延长DO1交圆O1于H，则CH//BD，故为AC与BD所成的角，易证CH⊥平面ABH，故CH⊥AH
∴AC与BD所成的角为

[例6]在一个轴截面是正三角形（顶角开口向上）的圆锥形容器中注入高为h的水，然后将一个铁球放入这个圆锥形容器中，若水面恰好和球面相切，求这个铁球的半径。

解：如图，作出圆锥容器的轴截面，为等边三角形
∵SG=，DG∴
设铁球的半径为R，则SO=2R，SF=3R
在中，

依题意有，即
∴
答：所求铁球半径等于

[例7]如图所示，四棱锥A—BCDE中，AD⊥底面BCDE，AC⊥BC，AE⊥BE。
（1）求证：ABCDE五点都在以AB为直径的同一球面上；
（2）若，，AD=1，求B、D两点间的球面距离。

解：（1）∵AD⊥底面BCDE∴AD⊥BC，AD⊥BE
又∵AC⊥BC，AE⊥BE∴BC⊥CD，BE⊥ED
∴B、C、D、E四点共圆，即BD为圆的直径
取AB的中点M，BD的中点N，连结MN，则MN//AD
∴MN⊥底面BCDE，即M的射影是圆的圆心N
∴AM=BM=CM=DM=EM五点共球体，且直径为AB
（2）若，则底面四边形BCDE是一个矩形，连结DM
∵∴
∴BM=1，
∴B、D两点间的球面距离是

【模拟试题】
一.选择题：
1.球面上有3个点，其中任意两点的球面距离都等于大圆周长的，经过这3个点的小圆的周长为，那么这个球的半径为（）
A.B.C.2D.
2.如图，A、B、C是表面积为的球面上三点，AB=2，BC=4，，O为球心，则直线OA与截面ABC所成的角是（）
A.B.C.D.

3.把正方形ABCD沿对角线AC折起，当以A、B、C、D四点为顶点的三棱锥体积最大时，异面直线AD与BC的夹角为（）
A.30°B.45°C.60°D.90°
4.已知体积相等的正方体、球、等边圆柱的全面积分别为S1、S2、S3，则它们之间的关系是（）
A. B.
C. D.
5.如图，一个由三根细铁杆PA、PB、PC组成的支架，三根杆的两两夹角都是60°，一个半径为1的球放在支架上，则球心到点P的距离是（）
A.B.C.2D.

6.已知球的表面积为，球面上有A、B、C三点，如果AB=AC=2，，则球心到平面ABC的距离为（）
A.1B.C.D.2
7.地球半径为R，在北纬30°圈上有两