第二章-极限与连续高等数学.ppt

第二章极限与连续设函数yn=f(n),其中n为正整数,------单调减少前面三个数列当n无限增大时的极限可分别表示为显然，数列yn无限地接近于1，可用数列yn与1之差的绝对值可以任意地小来描述.对任意给定的正数e，总存在正数N，当
n＞N时，恒有
|ynA|<e存在一充分大正整数N，当n>N时，点yn都落在点A的e邻域内，而不管e有多么小(如图)，发散数列：A函数极限对于任意给定的正数y(2)作直线y=A+e和y=A-e定义：如果当x无限接近于x0时，恒有
|f(x)-A|<e(e是任意小的正数)A-e<f(x)<A+e．当自变量x从不同方向趋于x0时，函数f(x)趋向于A的极限，例1试求函数例2解例2,3和4说明了下列几种重要现象：若x→x0(或x→∞)时，函数f(x)的极限存在,则函数f(x)在x0的一个空心小邻域内(或|x|充分大范围内)有界.设变量在变化过程中无限地趋于一个常数A，就称该变量以A为极限，记作①四、无穷小量与无穷大量无穷大量无穷小量如果变量在相同的变化趋势下

有界变量与无穷小量之积仍是无穷小量（常数与无穷小量之积仍是无穷小量）。
②两个无穷小量的代数和仍是无穷小量（可推广）。
③两个无穷小量之积仍是无穷小量（可推广）例无穷大量与无穷小量的关系无穷小量阶的比较例故由无穷小量的定理可推得(2)因为推论1求极限
m、n为正整数。证求极限
例练习解：解解练习求极限例极限存在准则在某个变化过程中，三个变量证明准则2：单调有界定理(1)两个重要极限AOB面积<扇形AOB面积<AOD面积所以例幻灯片1例例利用无穷小量等价代换求极限常用的等价无穷销量利用无穷小量等价代换法求极限幻灯片87幻灯片87幻灯片87幻灯片87幻灯片87幻灯片87函数的连续性函数的改变量（函数的增量）设正方形边长为函数连续的概念定义1设函数y=f(x)在x0点及其的某邻域内有定义，若定义2设函数y=f(x)在x0点及其某邻域内有定义，总结：例证明函数例证明函数y=sinx在其定义域内连续.解因为例如果函数间断点及其分类讨论函数讨论函数讨论函数第一类间断点（可去间断点或跳跃间断点）第二类间断点（若例证明x=0为函数的第一类间断点.例证明函数因为，如果修改定义f(0)=1，例证明x=1是
例设讨论f(x)的连续性.例连续函数的基本性质故由极限的运算法则可得闭区间上连续函数的性质函数y=f(x)在开区间（ab）上连续，则它在该区间内未必有最大值和最小值.a例：利用函数的连续性求极限例证明方程x3-4x2+1=0在(0,1)内至少有一个实根.证明方程总复习