高等数学讲义 第二章 极限与连续.ppt

第二章极限与连续2.数列的极限定义：设一数列{xn}和一个常数a,如果对于任意给定的正数（不任多么小）,总存在正整数N，使得对于满足n>N的一切xn都有|xn–a|<成立，那末称数a为数列{xn}当n→+∞时的极限。例1.用极限“–N”定义验证怎么办呢？没有必要！例2.用“–N”语言验证可以吗？表示n很大时，xn几乎都凝聚在点a的近旁。3.收敛数列的性质定理2（有界性）收敛数列必有界04.极限存在准则例9.判别数列{xn}的敛散性§2.函数的极限例1.用“–X”定义验证几何解释无极限举例：2.当x→x0时函数的极限。怎么办？几何解释定理2（函数极限的保号性）=1?无极限举例“0”是作为无穷小的唯一的常数。定理2.设为无穷小，u有界，则u也是无穷小。定理3(极限与无穷小的关系)定义：绝对值无限增大的数列或函数称为无穷大。§4.极限运算法则1.两个重要极限两个无穷小的商实际反映了在变化过程中趋于零的速度快慢程度。为此引入定义3.无穷小的主部４.等阶无穷小的代换定理当x0时，常见的等价无穷小§6.函数的连续性定理1.函数f(x)在点x0处连续的充要条件是：
函数f(x)在点x0处既左连续又右连续。如果f(x)在(a,b)内任意一点连续，则称f(x)在(a,b)
上连续，或称f(x)为(a,b)上的连续函数。如果f(x)
在(a,b)上连续，且在x=a右连续，在x=b处左连续，
则称f(x)在[a,b]上连续。２.函数的间断点左、右极限均存在的间断点,称为第一类间断点，其余的间断点,称为第二类间断点。2.连续函数的运算及初等函数的连续性定理4.如果函数y=f(x)在某个区间上严格单调增(或降)且连续，那末它的反函数x=(y)在对应的区间上也严格单调增(或降)且连续。定理6.(介值定理)第二章重点练习题3.确定常数k使f(x)连续4.证明题