广西南宁市邕宁高中2014届高三数学上学期第二次月考试题 理 新人教A版.doc

邕宁高中2014届第二次月考数学试卷（理）
2013.10.29
一、选择题：共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1已知集合，，则）
ABCD
2复数满足则（）
ABCD
3已知,则（）
ABCD
4在正项等比数列中，若，，成等差数列，则（）
BCD
5若变量满足约束条件,（）
A． B． C． D．
6设,则（）
A． B． C． D．
7已知且，若函数在上既是奇函数，又是增函数，则函数的图像是（）

8已知,则双曲线与的 （）
A．实轴长相等 B．离心率相等 C．虚轴长相等D．焦距相等
9若，数列中，，，则数列的前项和为（）

10把ABCDE这5个字母排成一排，A，B都不和C相邻的排法有（）
A24种B30种C32种D36种
11设向量，，满足，，,则的最大值等于（）
A2BCD1
12已知定义在R上的函数满足：，且是奇函数，给出以下命题，正确的是（）
是周期函数关于点，对称
是偶函数关于直线对称
ABCD
二、填空题：每小题5分，共20分.请将答案填写在答题卡上的相应位置.
13已知抛物线关于轴对称，顶点在坐标原点，并且经过点，若点到抛物线焦点的距离为，则__________
14的展开式中的系数为______________
15设是球的半径，是的中点，过与成的平面截球得到圆，若圆面积为，则球的表面积为____________
16如图正方体中，、分别是棱、的中点，
的顶点在棱上运动，有以下四个命题：①在底面上的射影图形的面积为定值
②在侧面上的射影图形一定是三角形③直线一定垂直平面
④平面一定垂直平面
其中正确命题的序号是____________

三、解答题（本大题共6小题，共70分.）
17.(本小题满分10分)
设△的内角所对的边分别为,且,,.
(Ⅰ)求的值；(Ⅱ)求的面积.

18．（本小题满分12分）
甲，乙，丙三个同学同时报名参加某重点高校2013年自主招生．自主招生的程序为审核材料和文化测试，只有审核过关后才能参加文化测试，文化测试合格者即可获得自主招生入选资格．因为甲，乙，丙三人各有优势，甲，乙，丙三人审核过关的概率分别为0.5，0.6，0.4，审核过关后，甲，乙，丙三人文化测试合格的概率分别为0.6，0.5，0.75．
（1）求甲，乙，丙三人中只有一人通过审核的概率；
（2）设甲，乙，丙三人中获得自主招生入选资格的人数为，求随机变量的期望．

19.（本小题满分12分）如图，已知四棱锥中，侧棱平面，底面是平行四边形，，，，分别是的中点．

（1）求证：平面
（2）当平面与底面所成二面角为时，
求二面角的大小．

20．(本小题满分12分)已知满足，.
（1）求数列的通项公式。
（2）设，求数列的前项和．

21．(本小题满分12分)已知椭圆的对称轴为坐标轴，且抛物线的焦
点是椭圆的一个焦点，又点在椭圆上．
（1）求椭圆的方程；
（2）已知直线的斜率为，若直线与椭圆交于、两点，求面积
的最大值．

22．(本小题满分12分)函数，其中．
（1）若函数在其定义域内是单调函数，求的取值范围；
（2）若对定义域内的任意，恒有，求的值；
（3）设，．当时，若存在，使得
，求实数的取值范围．

班别座号姓名装

订

线

内

不

要

答

题
邕宁高中2014届第二次月考数学试题（理科）
参考答案

一、选择题答案
题号123456789101112答案BCADCBABDDAA二、填空题
13、14、315、16、①,④
17.解:(Ⅰ)由余弦定理,得,
又,,,所以,解得,.
(Ⅱ)在△中,,因此.

18．解：（1）分别记甲，乙，丙通过审核为事件，，，记甲，乙，丙三人中只有一人通过审核为事件，则…………………………………………………4分
（2）分别记甲，乙，丙三人中获得自主招生入选资格为事件，则
，………………………………………………………………………5分
∴的可能取值为0、1、2、3，
，
…………………………………10分

故随机变量的数学期望为.…………………12分
19．解：
（1）证明：∵平面，∴的射影是，的射影是，
∵∴∴，且，
∴是直角三角形，且，…………………………………3分
∴，∵平面，∴，
且，∴平面……………………………………………………………6分
（2）解法1：由（1）知，且是平行四边形，可知，
又∵平面，由三垂线定理可知，，
又∵由二面角的平面角的定义可知，是平面与底面所成二面角，故，故在中，，∴，，
从而又在中，，
∴在等腰三角形，分别取中点和中点，连接，和，