高中数学子集思想在解题中的应用学法指导.doc

用心爱心专心

子集思想在解题中的应用
林明成

对于A、B两个集合，如果A中每一个元素都是B中的元素，则称A是B的子集，记作AB。子集概念是高中数学中非常重要的概念，其中蕴含的逻辑思维能力是高考数学考查的重点内容。利用子集概念，可以简明地解决许多数学问题。
一、解方程(或不等式)
使方程(或不等式)中各代数式都有意义的未知数的取值范围，不妨称为方程(或不等式)的“定义域”。显然方程(或不等式)的解集是其“定义域”的子集。因此利用子集思想，借助“定义域”定性分析，可减少许多中间运算环节，从而优化解题过程。
例1.求方程的实数解。
分析：常规解法是平方法去根号，转化为有理不等式组求解，运算量大，过程冗长。
解：由得

经检验是原方程的解。
例2.解不等式
。
解析：常规思路是分两种情况讨论，无疑是十分繁琐的。
由
因此不等式的解集应是的子集。
于是原不等式等价于

。
故原不等式的解集为。
例3.设为常数，解不等式。
解析：此题的常规解法是分和两类讨论，去根号求解或数形结合，巧借图形求解，但都较繁。根据子集思想，优先考虑不等式的“定义域”，借助“定义域”的调节转化，有如下简解：
。此时，
，不等式恒成立。
故原不等式的解集是

二、确定参数取值范围
确定参数取值范围问题是高考数学的重点问题。某些参数范围问题，用子集思想易于弄清问题实质，理顺解题思路，轻松解决。
例4.要使满足关于x的不等式（解集非空）的每一个x的值至少满足不等式和中的一个，求实数a的取值范围。
解：不等式的解集的并集为（1，4）。记，不等式的解集为A，则。
因为 解得
例5.设关于x的不等式的解集为A，且，试求实数a的取值范围。
解析：由，则。
又，所以符合题意的整数只有1，应否定，从而等价于

例6.设，又设B是关于x的不等式组

的解集，且，试确定a,b的取值范围。
分析：此题是双参数问题，常规思路是大规模地进行分类讨论。
若根据“不等式组的解集”与“不等式的解集”之间的子集关系，可得如下简洁解法。
解：记为不等式①的解集；
记为不等式②的解集。则，
所以，
所以
即。
例7.若不等式组

的解集中的整数只有，求a的取值范围。
分析：常规思路是将②变形为，然后对a进行分类讨论，过程繁难。
若根据不等式组的解集与不等式①、②的解集之间的子集关系，则可获得简解。
解：不等式①的解集为。
又原不等式组的解集中的整数只有。
所以原不等式组的解集为的子集。
不等式②变形为 ③
又属于不等式③的解集，所以不等式③的解集为，
所以的取值范围只能是，故a的取值范围为。
例8.设是xoy平面内的点集，要使，求a的取值范围。
分析：此题的常规解法是数形结合，下面根据子集概念，给出一种简便的方法。
解：令
要使，不等式恒成立。
又，
所以。

三、解探索性问题
某些解探索性问题，直接探究，过程繁冗。若打破常规，利用子集思想，挖掘隐含关系，则能避开分类讨论或“非必求量”，暗渡陈仓。
例9.设二次函数，满足，且方程有等根，问是否存在实数m，n，使得的定义域和值域分别为？若存在，找出所有m，n；若不存在。试说明理由。
分析：此题属于“轴定区间动”，常规思想是根据对称轴与区间的位置关系，分三种情况讨论。若根据函数上的值域[2m，2n]是函数在R上的值域的子集，可以避免分类讨论，迅速获解。此题通常之所以成为分类讨论的问题，完全是由于我们对“子集关系”认识不够。
略解：（1）。
（2）因为函数在R上的值域为，所以。
所以上为增函数。
由
解得
故当时满足要求。
例10.设集合，函数的值域为B，问是否存在自然数a使？若存在，找出所有a；若不存在，试说明理由。
解析：若先求的值域B，再通过数轴，由，列出关于a的不等式组，然后解不等式组，探求是否存在自然数a，无疑是十分繁琐的。如果根据子集概念，将转化为对任一函数值都有，则问题就变得简单明了。这里的集合B不是“必求量”。
事实上，的定义域为R，集合，因此对任意，都有成立。
因为，
所以
即恒成立，
所以
解得，1满足要求。