北京市各区2012年高考数学一模试题分类解析（3） 导数及其应用 理.doc

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三、导数及其应用
12.（2012年海淀一模理12）设某商品的需求函数为，其中分别表示需求量和价格，如果商品需求弹性大于1（其中，是的导数），则商品价格的取值范围是.
答案：。

18.（2012年海淀一模理18）已知函数.（Ⅰ）求的单调区间；（Ⅱ）是否存在实数，使得函数的极大值等于？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.
解：（Ⅰ）的定义域为.
，
即.
令，解得：或.
当时，，故的单调递增区间是.
当时，
，随的变化情况如下：
极大值极小值所以，函数的单调递增区间是和，单调递减区间是.
当时，
，随的变化情况如下：
极大值极小值所以，函数的单调递增区间是和，单调递减区间是.
（Ⅱ）当时，的极大值等于.理由如下：
当时，无极大值.
当时，的极大值为，
令，即解得或（舍）.
当时，的极大值为.

因为，，
所以.
因为，所以的极大值不可能等于.
综上所述，当时，的极大值等于.

18.（2012年西城一模理18）已知函数，其中.
（Ⅰ）当时，求曲线在点处的切线方程；
（Ⅱ）求的单调区间.
解：（Ⅰ）当时，，．
由于，，
所以曲线在点处的切线方程是．
（Ⅱ），．
①当时，令，解得．
的单调递减区间为；单调递增区间为，．
当时，令，解得，或．
②当时，的单调递减区间为，；单调递增区间为，．
③当时，为常值函数，不存在单调区间．
④当时，的单调递减区间为，；单调递增区间为，．

18．（2012年东城一模理18）已知函数在处的切线斜率为零．
（Ⅰ）求和的值；（Ⅱ）求证：在定义域内恒成立；(Ⅲ)若函数有最小值，且，求实数的取值范围.
解：（Ⅰ）.
由题意有即，解得或（舍去）．
得即，解得．
证明：（Ⅱ）由（Ⅰ）知，
．
在区间上，有；在区间上，有．
故在单调递减，在单调递增，
于是函数在上的最小值是．
故当时，有恒成立．
解：(Ⅲ)．
当时，则，当且仅当时等号成立，
故的最小值，符合题意；
当时，函数在区间上是增函数，不存在最小值，不合题意；
当时，函数在区间上是增函数，不存在最小值，不合题意．
综上，实数的取值范围．

18.（2012年丰台一模理18）已知函数．（Ⅰ）当a=1时，求曲线y=f(x)在点(1，f(1))处的切线方程；（Ⅱ）当a>0时，函数f(x)在区间[1，e]上的最小值为-2，求a的取值范围；
（Ⅲ）若对任意，，且恒成立，求a的取值范围．
解：（Ⅰ）当时，，．…1分
因为，，…2分
所以切线方程为．……3分
（Ⅱ）函数的定义域为．
当a>0时，，4分
令，即，
所以或．…5分
当，即时，在上单调递增，
所以在[1,e]上的最小值是；…6分
当时，在[1,e]上的最小值是，不合题意；
当时，在上单调递减，
所以在[1,e]上的最小值是，不合题意．…7分
综上可得．……8分
（Ⅲ）设，则，……9分
只要在上单调递增即可．
而，……10分
当时，，此时在单调递增；…11分
当时，只需在恒成立，因为，只要，
则需要，
对于函数，过定点，对称轴，只需，
即．…12分
综上可得．…13分

18.（2012年朝阳一模理18）设函数.（Ⅰ）当时，求曲线在点处的切线方程；（Ⅱ）求函数单调区间.
解：因为所以.
（Ⅰ）当时,,,
所以.
所以曲线在点处的切线方程为.……4分
（Ⅱ）因为，…5分
（1）当时,由得；由得.
所以函数在区间单调递增,在区间单调递减.…6分
（2）当时,设，方程的判别式
……7分
①当时，此时.
由得,或；
由得.
所以函数单调递增区间是和,
单调递减区间.……9分
②当时，此时.所以，
所以函数单调递增区间是.…10分
③当时，此时.
由得；
由得,或.
所以当时,函数单调递减区间是和,
单调递增区间.……12分
④当时,此时，，所以函数单调递减区间是.

18.（2012年东城11校联考理18）已知函数：,（1）当时，求的最小值；（2）当时，若存在,使得对任意的恒成立，求的取值范围.
解：（1）的定义域为,

当时，为增函数，

当时，为减函数，为增函数，

当时，为减函数，

综上当时，
当时，
当时，……6分

(2)若存在,使得对任意的恒成立，
即
当时，由（1）可知，,为增函数，
，
,当时为减函数，

………13分

18.（2012年石景山一模理18）已知函数.（Ⅰ）若函数的图象在处的切线斜率为，求实数的值；（Ⅱ）求函数的单调区间；（Ⅲ）若函数在上是减函数，求实数的取值范围.
解：（Ⅰ）…1分
由已知，解得.……3分
（II）函数的定义域为.
（1）当时,，的单调递增区间为；5分
（2）当时.
当变化时，的变化情况如下：
-+极小值由上表可知，函数的单调递减区间是；
单调递增区间是.……8分
（II）由得，……9分
由已知函数为上的单调减