数学北京市各区二模试题分类解析导数及其应用.docx

1、（2011丰台二模文11）若，则函数的单调递增区间是（0，π）（开闭均可）．
2、（2011海淀二模文14）已知函数、分别是二次函数和三次函数的导函数，它们在同一坐标系下的图象如图所示:
①若，则1；
=2\*GB3②设函数则的
大小关系为.（用“<”连接）
1、(2011朝阳二模理18)（本小题满分13分）
设函数，.
（Ⅰ）若，求函数在上的最小值；
（Ⅱ）若函数在上存在单调递增区间，试求实数的取值范围；
（Ⅲ）求函数的极值点.
解：（Ⅰ）的定义域为.……………………………1分
因为，所以在上是增函数，
当时，取得最小值.
所以在上的最小值为1.……………………………3分
（Ⅱ）解法一：
设，……………………………………4分
依题意，在区间上存在子区间使得不等式成立.……………5分
注意到抛物线开口向上，所以只要，或即可
……………………………………6分
由，即，得，
由，即，得，
所以，
所以实数的取值范围是.……………………………………8分
解法二：，……………………………4分
依题意得，在区间上存在子区间使不等式成立.
又因为，所以.……………………………………5分
设，所以小于函数在区间的最大值.
又因为，
由解得；
由解得.
所以函数在区间上递增，在区间上递减.
所以函数在，或处取得最大值.
又，，所以，
所以实数的取值范围是.……………………………………8分
（Ⅲ）因为，令
①显然，当时，在上恒成立，这时，此时，函数没有极值点；……………………………………9分
②当时，
（ⅰ）当，即时，在上恒成立，这时，此时，函数没有极值点；……………………………………10分
（ⅱ）当，即时，
易知，当时，，这时；
当或时，，这时；
所以，当时，是函数的极大值点；是函数的极小值点.……………………………………12分
综上，当时，函数没有极值点；
当时，是函数的极大值点；是函数的极小值点.………
2、（2011昌平二模理19）.(本小题满分14分)
已知函数（）.
（Ⅰ）求函数的单调区间;
(Ⅱ）函数的图像在处的切线的斜率为若函数，在区间（1，3）上不是单调函数，求的取值范围。
解：（I）……2分
当即
f(x)的单调递增区间为（0，）,单调递减区间为（,………4分
当，即
f(x)的单调递增区间为（,,单调递减区间为（0，）……6分
（II）得……8分
+3……9分
………10分
……11分
……12分即：
3、(2011东城二模理18)（本小题共13分）
已知函数()．
（Ⅰ）若，求证：在上是增函数；
（Ⅱ）求在[1，e]上的最小值．
（Ⅰ）证明：当时，，
当时，，
所以在上是增函数．………………5分
（Ⅱ）解：，当，．
若，则当时，，
所以在上是增函数，
又，故函数在上的最小值为．
若，则当时，，
所以在上是减函数，
又，所以在上的最小值为．
若，则当时，，此时是减函数；
当时，，此时是增函数．
又，
所以在上的最小值为．
综上可知，当时，在上的最小值为1；
当时，在上的最小值为
当时，在上的最小值为．…
4、（2011丰台二模理18）.（本小题共13分）
已知函数．
（Ⅰ）若在处取得极值，求a的值；
（Ⅱ）求函数在上的最大值．
解：（Ⅰ）∵，∴函数的定义域为．………………1分
∴．………………3分
∵在处取得极值，
即，
∴．………………5分
当时，在内，在内，
∴是函数的极小值点．∴．………………6分
（Ⅱ）∵，∴．………………7分

∵x∈，∴，
∴在上单调递增；在上单调递减，………………9分
①当时，在单调递增，
∴；………………10分
②当，即时，在单调递增，在单调递减，
∴；………………11分
③当，即时，在单调递减，
∴．………………12分
综上所述，当时，函数在上的最大值是；
当时，函数在上的最大值是；
当时，函数在上的最大值是
5、（2011海淀二模理18）(本小题共14分）
已知函数..
（=1\*ROMANI）当时，求曲线在处的切线方程（）；
（=2\*ROMANII）求函数的单调区间.
解：（=1\*ROMANI）当时，，，………………………2分
所以，，………………………4分
所以曲线在处的切线方程为.………………………5分
（=2\*ROMANII）函数的定义域为
，…………………………6分
=1\*GB3①当时，，在上，在上
所以在上单调递增，在上递减；……………………………………………8分
=2\*GB3②当时，在和上，在上
所以在和上单调递增，在上递减；………………………10分
=3\*GB3③当时，在上且仅有，
所以在上单调递增；……………………………………………12分
=4\*GB3④当时，在和上，在上
所以在和上单调递增，在上递