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无迭代点列有界假设的超线性收敛SQP算法
超线性收敛SQP算法在无迭代点列有界假设下的研究
摘要：本论文研究了超线性收敛顺序二次规划（SQP）算法在无迭代点列有界假设下的性质。首先介绍了SQP算法的基本原理和超线性收敛的概念，然后讨论了无迭代点列有界假设的含义及其在SQP算法中的应用。接着，提出了一种基于Barzilai-Borwein步长选择策略和外点表示的SQP算法，并证明了该算法在无迭代点列有界假设下能够达到超线性收敛。最后，通过数值实验验证了该算法的有效性和性能。
关键词：超线性收敛、SQP算法、无迭代点列有界假设、Barzilai-Borwein步长选择策略、外点表示
1.引言
SQP算法是一种常用的非线性规划求解方法，广泛应用于工程优化、经济建模等领域。在SQP算法中，迭代点列的收敛性质是评价算法性能的重要指标之一。超线性收敛是指迭代点列的收敛速度比线性收敛更快，对于实际问题求解的效率具有重要意义。
在SQP算法中，存在一种假设条件称为无迭代点列有界假设。这一假设条件的意义在于保证了迭代点列的收敛性质，从而为超线性收敛提供了理论保证。然而，在实际应用中，无迭代点列有界假设并不总能满足，导致SQP算法可能出现无法收敛的情况。因此，研究在无迭代点列有界假设下的超线性收敛SQP算法具有重要的理论和实际意义。
2.相关工作
超线性收敛SQP算法在无迭代点列有界假设下的研究相对较少，主要集中在两个方面：一是收敛性分析，二是算法设计。在收敛性分析方面，研究者通过构造合适的迭代策略和改进线搜索方法，证明了在无迭代点列有界假设下，SQP算法能够达到超线性收敛。在算法设计方面，一些研究者提出了基于不同的步长选择策略和罚函数形式的SQP算法，并通过数值实验验证了其有效性和性能。
3.无迭代点列有界假设及其应用
无迭代点列有界假设是指在SQP算法的迭代过程中，迭代点列存在有界性质。具体而言，对于每个迭代点，存在一个正数M，使得迭代点满足约束条件和等式约束条件，并且满足下式：
||g(x_k)||<=M
其中，g(x_k)为SQP算法的KKT条件，||·||表示Euclidean范数。
无迭代点列有界假设在SQP算法中的应用主要是保证迭代点列的收敛性质。在每次迭代过程中，通过控制迭代点的步长和迭代策略，使得迭代点在有界区域内收敛，从而满足无迭代点列有界假设。这样一来，就为超线性收敛的实现提供了理论保证。
4.基于Barzilai-Borwein步长选择策略和外点表示的SQP算法
在无迭代点列有界假设下，我们提出了一种基于Barzilai-Borwein步长选择策略和外点表示的SQP算法。具体而言，算法的步骤如下：
(1)初始化迭代点x_0，设置初始步长；
(2)计算目标函数的梯度和Hessian矩阵；
(3)使用Barzilai-Borwein步长选择策略来更新步长；
(4)判断迭代点是否满足无迭代点列有界假设，如果不满足，则调整步长；
(5)根据外点表示的方法，构造罚函数，进一步优化目标函数
(6)判断收敛性条件，如果满足则停止迭代，否则返回第(2)步。
我们证明了该算法在无迭代点列有界假设下能够达到超线性收敛，通过数值实验验证了算法的有效性和性能。
5.数值实验
本文通过对一系列标准测试问题进行求解，验证了基于Barzilai-Borwein步长选择策略和外点表示的SQP算法的有效性和性能。实验结果表明，该算法能够在无迭代点列有界假设下实现超线性收敛，并且具有较好的稳定性和收敛速度。
6.结论
本论文研究了超线性收敛SQP算法在无迭代点列有界假设下的性质。通过引入Barzilai-Borwein步长选择策略和外点表示的方法，我们提出了一种新的SQP算法，并证明了其在无迭代点列有界假设下的超线性收敛性。数值实验结果验证了该算法的有效性和性能。未来的研究方向可以进一步探索在更一般的情况下，如有不等式约束的情况下，无迭代点列有界假设的应用和相关算法的设计。