数学建模排队论模型省公开课一等奖全国示范课微课金奖PPT课件.pptx

排队论模型排队论模型一、排队论基本概念在排队论中，我们把要求服务对象称为“用户”，而将从事服务机构或人称为“服务台”。在用户抵达服务台时，可能马上得到服务，也可能要等候到能够利用服务台时候为止。
排队系统队列除了有形还有没有形。在上述用户-服务台组成排队系统中，用户到来时刻与服务台进行服务时间普通来说是随不一样时机与条件而改变，往往预先无法确定。所以，系统状态是随机，故而排队论也称随机服务系统。各式各样排队现象展现基本特征：排队系统由输入过程、排队规则及服务机构三部分组成。
(1)输入过程
输入过程就是用户按怎样规律抵达，它首先应包含用户总体数，是有限还是无限；其次应说明用户抵达方式，是成批抵达(每批数量是随机还是确定性)还是单个抵达；最终应说明相继抵达用户(或批或单个)之间时间间隔分布是什么。服务机构主要指服务台数目，多个服务台进行服务时，服务方式是并联还是串联；服务时间服从什么分布等。1.排队模型分类
D.G.Kendall引进了排队模型分类符号，现已广泛采取，这里仅针对并列服务台。
记X：用户抵达时间间隔分布；Y：服务时间分布；Z：服务台数。则排队模型：X／Y／Z。
惯用记号：M——负指数分布；D——确定型；Ek——k阶爱尔朗（Erlang）分布；GI——普通相互独立随机分布，G——普通随机分布。这里主要讨论M／M／1，M／M／C。(1)队长
队长是指系统中用户数(包含排队等候和正在接收服务用户数)；等候队长是指系统中等候服务用户数。不论是队长还是等候队长，都是用户和服务机构最关心数量指标，尤其是对系统设计者来说，尤为主要，因为它包括到系统等候空间大小。
逗留时间是指一用户从进入系统起一直到接收服务后离开系统为止所花费时间；等候时间是指一用户从进入系统起到接收服务时所花费时间。显然，一个用户逗留时间等于其等候时间与接收服务时间之和。逗留时间与等候时间对用户来说是最关心，因为每个用户都希望自己用于排队等候时间愈短愈好。忙期是指从用户抵达空闲服务机构起到服务机构再次为空闲为止这段时间，即服务机构连续繁忙时间长度。这是服务机构最关心数量指标，因为它直接关系到服务员工作强度，与忙期相对应是闲期，即为服务机构连续保持空闲时间长度。显然，在排队系统中，忙期与闲期是交织出现。1.最简单流与Poisson过程
记随机过程｛x（t）：t≥0｝为时间［0，t］内流(事件)发生次数，比如对于随机到来某电话交换台呼叫，以x（t）表示该交换台在［0，t］这段时间内收到呼叫次数；若是服务机构，能够用x（t）表示该机构在［0，t］时间内来到用户数。最简单流应含有以下特征称定理1设是最简单流，则对任何和
都有

我们把满足这一分布规律随机过程
称为Poisson过程，最简单流亦称Poisson流，尤其取
得

故参数λ表示单位时间内事件发生次数平均数。2.Poisson流发生时间间隔分布3.负指数分布Markov特征例1设某一服务系统输入流是Poisson流，平均每3分钟进入5名用户，试计算：
(1)12分钟内进入15名用户概率；
(2)输入时间间隔大于1分钟概率。
解(1)因为，在［0，t］内进入k名用户概率

于是12分钟内进入15名用户概率
(2)因为输入时间间隔τ服从参数为λ指数分布

则所求概率为
对于单通道等候制排队问题主要讨论输入过程为Poisson流，服务时间服从负指数分布，单服务台情形，即M／M／1排队系统。
（一）标准模型
即为M／M／1／∞排队系统。所谓标准模型，就是用户输入流是参数为λPoisson流，每个用户服务时间是相互独立且服从参数为μ负指数分布，单个服务台且系统容量无限(排队模型分类第四个表示系统中允许最大用户数)。1.系统Markov特征直观地说，假如知道现在时刻时系统用户数情况，那么从概率意义上来说，未来时刻时系统用户数情况，与过去时刻时用户数情况无关。这个特征就是随机过程
Markov特征。
我们把系统在某一时刻用户数看做系统在这个时刻状态。依据系统状态Markov特征，轻易研究在时间区间内系统状态转移概率，为研究系统在任一时刻状态分布提供工具。记时刻t系统处于状态n概率
利用M／M／1／∞对输入与服务时间分布假设，在时间区间内，新进入或离开用户个数有以下结果：
内没有用户进入
内新进入一名用户
内多于一名用户进入
内没有用户离开
内有一名用户离开
内多于一名用户离开

当时有
故满足微分方程组对于系统稳定状态情形，与t无关，
故，记，从而有

对于上述差分方程，利用归纳法不难求得
记为排队系统来往强度，当
时，由可得M／M／1／∞系统数量指标(2)用户在系统中平均逗留时间

则用户在系统中平均等候时间
(3)稳定状态下忙期数学期望

由此可见，一个忙期中所服务用户平均数为例2（病人候诊问题）某单位医院