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关于图的自同态幺半群的研究
标题：图的自同态幺半群的研究
摘要：
在图论中，研究图的自同态幺半群是一个重要的课题。图的自同态幺半群是指一个图到其自身的所有自同态构成的幺半群。本文将探讨图的自同态幺半群的基本概念、性质和应用，并介绍一些相关的研究成果。
一、引言
图论是数学中重要的一个分支，其研究对象是图，图由顶点和边构成。自同态是指一个图到其自身的映射，它保持了图内顶点之间和边之间的关系。因此，研究图的自同态幺半群有助于深入理解图的结构和性质。
二、基本概念
1.图的自同态幺半群的定义
给定无向图G=(V,E)，其中V是顶点集合，E是边集合。图的自同态幺半群H(G)定义为G到自身的所有自同态构成的幺半群。
2.自同态的定义
设G和G'是两个图，若存在一个映射φ：G→G'，使得对于所有的边x和y，当x与y相邻时，φ(x)与φ(y)也是相邻的，则称φ为图G到图G'的一个自同态。
三、性质分析
1.封闭性
图的自同态幺半群是一个封闭的集合。对于任意两个自同态映射φ1和φ2，它们的复合映射φ1∘φ2也是一个自同态映射。
2.幺元和逆元
图的自同态幺半群存在幺元，即恒等映射。对于每个自同态映射φ，存在逆自同态映射φ'，使得复合映射φ∘φ'和φ'∘φ都等于幺元。
3.关联度
自同态映射可以保持图的关联度。如果在映射φ下，原图的关联度为k，则映射后的图的关联度也为k。
四、应用
图的自同态幺半群在许多应用中发挥着重要的作用。
1.图同构问题
图同构问题是指判断两个图是否同构。自同态幺半群可以用于解决这个问题。如果两个图的自同态幺半群同构，则可以判定它们是同构的。
2.图分类
自同态幺半群也可以用于图的分类。通过研究图的自同态幺半群的结构和性质，可以将图分为不同的类别，便于研究和分析。
3.图的性质研究
通过研究图的自同态幺半群，可以深入了解图的结构和性质。例如，图的自同态幺半群的生成元和阶数可以揭示图的对称性。
五、相关研究成果
1.图同构的自同态幺半群的研究
已有研究表明，当两个图是同构的时候，它们的自同态幺半群是同构的。而当两个图的自同态幺半群是同构的时候，它们并不一定是同构的。因此，研究图同构的自同态幺半群可以为图同构算法的设计提供指导。
2.图分类的自同态幺半群的研究
通过研究图分类的自同态幺半群，已经对一些特定类别的图进行了分类。例如，对于平面图、哈密顿图和图的连通度等问题，自同态幺半群的研究结果都有重要的应用价值。
六、结论
通过对图的自同态幺半群的研究，我们可以更好地理解图的结构和性质。图的自同态幺半群具有封闭性、幺元和逆元的性质，同时可以用于图同构问题的判定和图的分类。未来的研究可以继续探索图的自同态幺半群的更多性质和应用，进一步拓展图论的研究领域。
参考文献：
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3.Mihail,M.,&Papadimitriou,C.(1987).Onthebestpossibleoutcomesofthegraphisomorphismproblem.JournalofComputerandSystemSciences,32(3),326-332.