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关于图的自同态幺半群的研究的综述报告
引言
图论是一门研究图及其在数学、计算机科学和其他领域中的应用的学科。从某种意义上来说，图被认为是最重要的离散结构之一。图的自同态幺半群（Aut(G)）是指G到G的同构映射集，即所有自同态映射的集合。它是一个幺半群，即满足结合律的集合，其中存在唯一一个单位元素。本文将详细介绍关于图的自同态幺半群的研究。
基本概念
在介绍图的自同态幺半群之前，首先需要定义几个基本概念。一个图G是由一组节点和链接（边）组成的，记为G=(V,E)，其中V是节点的集合，E是链接的集合。一个映射$f:G→H$是一个从图G到图H的函数，其保留链接和节点之间的对应关系。也就是说，如果F是从G到H的映射，则对于所有的链接(u,v)∈E，(F(u),F(v))∈E'，其中E'是H的链接集合。如果一个映射$f:G→G$满足保留节点和链接之间的对应关系，则这个映射f是G的一个自同态映射。所以，G的自同态幺半群Aut(G)就是由所有保留节点和链接对应关系的自同态映射组成的集合。
基本性质
Aut(G)是一个幺半群，即满足以下两个条件：
1.结合律：对于任意f,g,h∈Aut(G)，有(f∘g)∘h=f∘(g∘h)。
2.单位元素：存在唯一一个元素e∈Aut(G)，满足对于任意f∈Aut(G)，有f∘e=e∘f=f。
此外，Aut(G)还具有以下基本性质：
1.对于任意的自同态映射f∈Aut(G)，其逆映射f^{-1}也是一个自同态映射，即f∘f^{-1}=f^{-1}∘f=e。
2.Aut(G)的阶数等于G的节点置换群S_V的子群大小，也就是说，|Aut(G)|≤|S_V|。
3.Aut(G)中的元素可以表示为G的链接置换和节点置换的乘积，即它们可以分别表示为G的所有链接置换和节点置换的复合。
研究方向
图的自同态幺半群有着丰富的研究方向。其中一个重要的研究方向是研究图的同构问题，即如何判断两个图是否同构。由于同构问题是一个NP完全问题，因此研究图的自同态幺半群可以帮助我们更好地理解和解决同构问题。例如，一个著名的定理是Aut（G）是G的自同构群，当且仅当G是解决同构问题中最难解的情况之一，称为简化五次图。此外，还有许多其他类型的图，例如正则图和哈密尔顿图，它们的自同态幺半群也有着自己独特的性质。
另一个重要的研究方向是研究图的分类。通过研究图的自同态幺半群，我们可以更好地理解图的结构和性质，并对它们进行分类。例如，一些图的自同态幺半群由对称群和较小的群组成，称为双对称图或正则自同态图。这些图可以用来研究对称性和代数性质。
结论
图的自同态幺半群具有丰富的性质和研究方向。它不仅与图的同构问题和分类有着密切的联系，也有着许多重要的应用。在实际应用中，研究图的自同态幺半群可以帮助我们更好地理解和解决实际问题，如图像识别和信号处理等领域。未来，我们可以继续深入探究图的自同态幺半群的性质，并将其应用于更广泛的领域。