直线与平面垂直的性质定理.doc

直线和平面垂直的性质
教学目标：
1对直线与平面垂直的判定定理进一步加深理解，并应用此判定定理去处理有关垂直的问题；
2掌握直线与平面垂直的性质定理，并会应用直线与平面垂直的性质定理解决相关问题；能解决“当a∥α时，直线a与平面α的距离问题”；
教学重点：直线与平面垂直的性质定理
教学难点：判定定理和性质定理的运用
教学方法：探究法
教具：多媒体
教学过程
一、复习引入：
1.线面垂直定义：
2.直线与平面垂直的判定定理：
3.如果直线与平面垂直那么又可以得到什么样的结论呢？
思考：①垂直于同一条直线的两条直线是否互相平行？为什么？
②平行于同一条直线的两条直线是否互相平行？为什么？
③平行于同一平面的两条直线是否互相平行？为什么？
④垂直于同一平面的两条直线是否互相平行？
二、新授：
1.直线和平面垂直的性质定理:
如果两条直线同垂直于一个平面,那么这两条直线平行
已知：如图，求证：
证明：（反证法）假定不平行于，则与相交或异面；
（1）若与相交，设，
∵∴过点有两条直线与平面垂直，
此与“过一点有且只有一条直线垂直于已知平面”矛盾，
∴与不相交；
（2）若与异面，设，过作，
∵∴又∵且，
∴过点有直线和垂直于与过一点有且只有一条直线一已知平面垂直矛盾，
∴与不异面，综上假设不成立，∴．
2.点到平面的距离的定义：从平面外一点引一个平面的垂线，这个点和垂足间的距离叫做这个点到这个平面的距离．
3.直线和平面的距离的定义：一条直线和一个平面平行，这条直线上任意一点到平面的距离，叫做这条直线和平面的距离．
三、例题：
例1.已知直线平面，垂足为，直线，求证：在平面内
证明：设与确定的平面为，
如果不在内，则可设，
∵，∴，又∵，
于是在平面内过点有两条直线垂直于，
这与过一点有且只有一条直线一已知平面垂直矛盾，
所以一定在平面内
例2.已知一条直线和一个平面平行，求证直线上各点到平面的距离相等
证明：过直线上任意两点A、B分别引平面的垂线,垂足分别为
∵∴
设经过直线的平面为，
∵//∴∴四边形为平行四边形
∴
由A、B是直线上任意的两点，可知直线上各点到这个平面距离相等
例3.已知：a，b是两条异面直线，a，b，∩=，AB是a，b公垂线，交a于A，交b于B,求证：AB∥
证明方法一：（利用线面垂直的性质定理）
过A作∥b，则a，可确定一平面γ
∵AB是异面垂线的公垂线，即ABa，ABb
∴AB∴ABγ
∵aα，bβ，∩=
∴a，b∴
∴γ∴AB∥
证明方法二：（利用同一平面内垂直于同一直线的两条直线互相平行）
A
B
b
a
m
n
l
α
β
γ
g
∵AB是异面直线a，b的公垂线，过AB与a作平面γ，γ∩=m
∵a∴am又aAB，ABγ
∴m∥AB,又过AB作平面g，g∩β=n
同理：n∥AB
∴m∥n，于是有m∥β
又∩=∴m∥
∴AB∥
例4.如图，AB∥，BD与平面相交，交点为D，且BD与不垂直，AC⊥，C为垂足，AB=CD=4cm，若E、F分别为AC和BD的中点，求线段EF的长.
四、练习：
1．求证：两条异面直线不能同时和一个平面垂直
2．如图，已知E，F分别是正方形ABCD边AD，AB的中点，EF交AC于M，GC垂直于ABCD所在平面．
（1）求证：EF⊥平面GMC．
（2）若AB＝4，GC＝2，求点B到平面EFG的距离．
3．求证：空间四边形的四个内角不可能全是直角
五、小结：
我们学习了直线和平面垂直的性质定理，以及两个距离的定义．定理的证明用到反证法，证明几何问题常规的方法有两种：直接证法和间接证法，直接证法常依据定义、定理、公理，并适当引用平面几何的知识；用直接法证明比较困难时，我们可以考虑间接证法，反证法就是一种间接证法．直线与平面垂直的性质定理，应用直线与平面垂直的性质定理解决相关问题
六、作业：P294,5
补：1.已知矩形ABCD的边长AB＝6cm，BC＝4cm，在CD上截取CE＝4cm，以BE为棱将矩形折起，使△BC′E的高C′F⊥平面ABED，求：
（1）点C′到平面ABED的距离；
（2）C′到边AB的距离；
（3）C′到AD的距离．
2．如图1-79，已知：ABCD是矩形，SA⊥平面ABCD，E是SC上一点．求证：BE不可能垂直于平面SCD．
七、板书设计：