高中数学 第二章 平面向量 阶段复习课 第3课 平面向量学案 新人教A版必修4-新人教A版高一必修4数学学案.doc

第三课平面向量
[核心速填]
1．向量的运算
(1)加法：①eq\o(OA,\s\up8(→))＋eq\o(AB,\s\up8(→))＝eq\o(OB,\s\up8(→))，②若四边形OABC为平行四边形，则eq\o(OA,\s\up8(→))＋eq\o(OC,\s\up8(→))＝eq\o(OB,\s\up8(→)).
(2)减法：eq\o(OA,\s\up8(→))－eq\o(OB,\s\up8(→))＝eq\o(BA,\s\up8(→)).
(3)数乘：|λa|＝|λ||a|.
(4)数量积：a·b＝|a||b|cosθ(a与b的夹角为θ)．
2．两个重要定理
(1)向量共线定理：向量a(a≠0)与b共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使b＝λa.
(2)平面向量基本定理：如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2，其中e1，e2是一组基底．
3．两个非零向量平行、垂直的充要条件
若a＝(x1，y1)b＝(x2，y2)，则：
(1)a∥b⇔a＝λb(λ≠0)⇔x1y2－x2y1＝0.
(2)a⊥b⇔a·b＝0⇔x1x2＋y1y2＝0.
4．平面向量的三个性质
(1)若a＝(x，y)，则|a|＝eq\r(a·a)＝eq\r(x2＋y2).
(2)若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|eq\o(AB,\s\up8(→))|＝eq\r(x2－x12＋y2－y12).
(3)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ为a与b的夹角，则cosθ＝eq\f(a·b,|a||b|)＝eq\f(x1x2＋y1y2,\r(x\o\al(2,1)＋y\o\al(2,1))\r(x\o\al(2,2)＋y\o\al(2,2))).
[体系构建]

[题型探究]
平面向量的线性运算(1)平面上有A(2，－1)，B(1,4)，D(4，－3)三点，点C在直线AB上，且eq\o(AC,\s\up8(→))＝eq\f(1,2)eq\o(BC,\s\up8(→))，连接DC延长至E，使|eq\o(CE,\s\up8(→))|＝eq\f(1,4)|eq\o(ED,\s\up8(→))|，则点E的坐标为________．

图2­1
(2)如图2­1，在正五边形ABCDE中，若eq\o(AB,\s\up8(→))＝a，eq\o(BC,\s\up8(→))＝b，eq\o(CD,\s\up8(→))＝c，eq\o(DE,\s\up8(→))＝d，eq\o(EA,\s\up8(→))＝e，求作向量a－c＋b－d－e.【导学号：84352275】
(1)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(8,3)，－7))[(1)∵eq\o(AC,\s\up8(→))＝eq\f(1,2)eq\o(BC,\s\up8(→))，
∴eq\o(OC,\s\up8(→))－eq\o(OA,\s\up8(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(OC,\s\up8(→))－eq\o(OB,\s\up8(→)))．
∴eq\o(OC,\s\up8(→))＝2eq\o(OA,\s\up8(→))－eq\o(OB,\s\up8(→))＝(3，－6)，
∴点C坐标为(3，－6)．
由|eq\o(CE,\s\up8(→))|＝eq\f(1,4)|eq\o(ED,\s\up8(→))|，且E在DC的延长线上，
∴eq\o(CE,\s\up8(→))＝－eq\f(1,4)eq\o(ED,\s\up8(→)).设E(x，y)，
则(x－3，y＋6)＝－eq\f(1,4)(4－x，－3－y)，
得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－3＝－1＋\f(1,4)x，,y＋6＝\f(3,4)＋\f(1,4)y，))
解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\f(8,3)，,y＝－7，))即Eeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(8,3)，－7)).
(2)a－c＋b－d－e
＝(a＋b)－(c＋d＋e)
＝(eq\o(AB,\s\up8(→))＋eq\o(BC,\s\up8(→)))－(eq\o(CD,\s\up8(→))＋eq\o(DE,\s\up8(→))＋eq\o(EA,\s\up8(→)))
＝eq\o(