MATLAB数值积分及算例省公开课一等奖全国示范课微课金奖PPT课件.pptx

6.1数值积分基本原理
求解定积分数值方法各种多样，如简单梯形法、辛普生(Simpson)法、牛顿－柯特斯(Newton-Cotes)法等都是经常采取方法。
它们基本思想都是将整个积分区间[a,b]分成n个子区间[xi,xi+1]，i=1,2,…,n，
其中x1=a，xn+1=b。
这么求定积分问题就分解为求和问题。6.2数值积分实现方法
6.2.1变步长辛普生法
基于变步长辛普生法，MATLAB给出了quad函数来求定积分。该函数调用格式为：
[I,n]=quad('fname',a,b,tol,trace)
其中fname是被积函数名。a和b分别是定积分下限和上限。tol用来控制积分精度，缺省时取tol=0.001。trace控制是否展现积分过程，若取非0则展现积分过程，取0则不展现，缺省时取trace=0。返回参数I即定积分值，n为被积函数调用次数。例1求定积分：

(1)建立被积函数文件fesin.m。
functionf=fesin(x)
f=exp(-0.5*x).*sin(x+pi/6);
(2)调用数值积分函数quad求定积分。
[S,n]=quad('fesin',0,3*pi)
(S为返回值,n是调用次数)6.2.2牛顿－柯特斯法
基于牛顿－柯特斯法，MATLAB给出了quad8函数来求定积分。该函数调用格式为：
[I,n]=quad8('fname',a,b,tol,trace)
其中参数含义和quad函数相同，只是tol缺省值取10-6。该函数能够更准确地求出定积分值，且普通情况下函数调用步数显著小于quad函数，从而确保能以更高效率求出所需定积分值。例2求定积分:

(1)被积函数文件fx.m。
functionf=fx(x)
f=x.*sin(x)./(1+cos(x).*cos(x));
(2)调用函数quad8求定积分。
I=quad8('fx',0,pi)例3分别用quad函数和quad8函数求定积分
近似值，并在相同积分精度下，比较函数调用次数。
调用函数quad求定积分：
formatlong;
fx=inline('exp(-x)');
[I,n]=quad(fx,1,2.5,1e-10)

调用函数quad8求定积分：
formatlong;
fx=inline('exp(-x)');
[I,n]=quad8(fx,1,2.5,1e-10)6.2.3被积函数由一个表格定义
(要求积分,不过函数没有直接给出,只是自己在做试验时得到一组相关联数据)
在MATLAB中，对由表格形式定义函数关系求定积分问题用trapz(X,Y)函数。其中向量X,Y定义函数关系Y=f(X)。
例4用trapz函数计算定积分。
命令以下：
X=1:0.01:2.5;
Y=exp(-X);%生成函数关系数据向量
trapz(X,Y)
ans=
0.285796824163936.3二重定积分数值求解
使用MATLAB提供dblquad函数就能够直接求出上述二重定积分数值解。该函数调用格式为：
I=dblquad(f,a,b,c,d,tol,trace)
该函数求f(x,y)在[a,b]×[c,d]区域上二重定积分。参数tol，trace使用方法与函数quad完全相同。例5计算二重定积分

(1)建立一个函数文件fxy.m：
functionf=fxy(x,y)
globalki;
ki=ki+1;%ki用于统计被积函数调用次数
f=exp(-x.^2/2).*sin(x.^2+y);
(2)调用dblquad函数求解。
globalki;ki=0;
I=dblquad('fxy',-2,2,-1,1)
ki