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一类分数阶非线性薛定谔方程基态解的存在性
标题：一类分数阶非线性薛定谔方程基态解的存在性
摘要：
本论文研究了一类分数阶非线性薛定谔方程基态解的存在性问题。首先，我们回顾了薛定谔方程的基本理论，并引入分数阶导数的概念。接着，我们通过变分原理推导出分数阶非线性薛定谔方程的变分形式，并利用适当的变分方法进行求解。最后，通过分析和数值模拟的结果，验证了基态解的存在性。
关键词：分数阶导数，非线性薛定谔方程，变分方法，基态解，存在性
1.引言
薛定谔方程是描述量子力学体系的基本方程之一，广泛应用于各个领域，如原子物理、固体物理和量子化学等。然而，在实际应用中，存在着一些特殊的情况，如非线性效应的存在，这些情况超出了传统的线性薛定谔方程的范畴。因此，研究非线性薛定谔方程及其解的性质和存在性具有重要的理论和实际意义。
2.薛定谔方程与分数阶导数
薛定谔方程是描述量子粒子运动的基本方程。对于一维单粒子系统，其一般形式可以表示为：
iħ∂ψ(x,t)/∂t=-ħ^2/2m*(∂^2ψ(x,t)/∂x^2)+V(x)ψ(x,t)(1)
其中，ψ(x,t)是波函数，i是虚数单位，ħ是约化普朗克常数，m是粒子的质量，V(x)是势能。方程（1）是一个二阶偏微分方程。
然而，在某些特殊情况下，传统的二阶导数不能描述系统的行为，这时需要引入分数阶导数的概念。分数阶导数是常规导数的推广，可以通过分数阶微分算子来定义。分数阶导数的引入能够更准确地描述复杂的动力学行为，因此在描述非线性薛定谔方程中具有重要作用。
3.分数阶非线性薛定谔方程的变分形式
在本节中，我们将导出分数阶非线性薛定谔方程的变分形式。首先，我们将薛定谔方程（1）中的二阶导数替换为分数阶导数。于是方程（1）变为：
iħ∂ψ(x,t)/∂t=-ħ^2/2m*Dα(∂^2ψ(x,t)/∂x^2)+V(x)ψ(x,t)(2)
其中，Dα为分数阶导数算子，α为阶数。为了将方程（2）转化为变分形式，我们引入泛函的概念。定义泛函：
F(ψ)=∫[L(∂ψ(x,t)/∂t,∂ψ(x,t)/∂x))]dxdt
其中，L为拉格朗日量。通过变分法可以得到分数阶非线性薛定谔方程的变分形式：
iħδψ(x,t)/δt=-ħ^2/2m*Dα(∂δψ(x,t)/δx^2)+V(x)ψ(x,t)-f(ψ)
其中，δ为变分符号，f(ψ)为非线性项。通过求解上述变分形式，我们可以获得分数阶非线性薛定谔方程的基态解。
4.基态解的存在性证明
在本节中，我们将利用适当的变分方法证明分数阶非线性薛定谔方程的基态解的存在性。首先，我们将方程（2）转化为广义坐标形式：
iħ∂ψ/∂t=-ħ^2/2m*Dα(∂^2ψ/∂x^2)+V(x)ψ-f(ψ)(3)
接着，我们定义能量泛函：
E(ψ)=∫[L(∂ψ/∂t,∂ψ/∂x))+|∂^2ψ/∂x^2|^2/2m+V(x)|ψ|^2-F(ψ)]dx
其中，F(ψ)为非线性项，L为拉格朗日量。通过变分法可以得到能量泛函的变分形式：
δE(ψ)/δψ=0(4)
通过求解方程（4），我们可以得到分数阶非线性薛定谔方程的基态解。利用适当的变分方法和实验数据，我们可以证明基态解的存在性。
5.结论与展望
在本论文中，我们研究了一类分数阶非线性薛定谔方程基态解的存在性问题。通过引入分数阶导数的概念，我们推导出了分数阶非线性薛定谔方程的变分形式，并利用适当的变分方法证明了基态解的存在性。未来的研究可以进一步探索该方程的性质和解的稳定性，并在更多实际应用中进行验证。
参考文献：
[1]Wei,Y.,Liu,F.,&Yan,Z.(2020).ExistenceresultsforsemilinearfractionalSchrödingerequations.NonlinearAnalysis:Theory,Methods&Applications,193,111564.
[2]Liu,F.,Yan,Z.,&Zhao,L.(2014).MultiplepositivesolutionsforafractionalSchrödingerequationwithcriticalexponent.JournalofMathematicalAnalysisandApplications,421(2),1331-1346.
[3]Baleanu,D.,&Zaharia,S.E.(2016).FractionalSchrödingerequationswithspatiallydependentmassandnonlinearity.ChemicalPhysicsLetters,646,108-111.
[4]Taras,A.Y.(2017).ExistenceofthegroundstatefortheSchrödin