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约束优化一个结合拟强次可行方向法和工作集技术的超线性收敛算法
引言
约束优化是工程优化领域中极为重要的一个研究领域。约束优化问题在实际生产与工程设计中随处可见。它在工程设计中的应用主要是要通过合理的方案，最大限度地满足规定的约束条件，同时尽可能地提高性能指标。
超线性收敛算法是近年来约束优化领域比较新的一个研究方向。本文将介绍一种结合拟强次可行方向法和工作集技术的超线性收敛算法。文章将首先介绍约束优化问题的定性，然后阐述拟强次可行方向法和工作集技术的原理，最终基于这两种方法探讨超线性收敛算法的应用。
约束优化问题概述
约束优化问题中的变量有一组取值，这些取值要满足一定的限制条件，这些限制条件又称为约束条件，因此，约束优化问题的求解本质上就是在满足约束条件的前提下，寻求一个最优解。
对于非线性约束优化问题，由于其非线性性质，求解难度较大。一般而言，可将非线性约束优化问题转化为一个线性优化问题，然后使用类似随机梯度下降算法这样的传统算法进行求解。
然而，线性优化问题产生的解一般不满足原非线性优化问题的约束条件，因此，一般需要使用某种算法使得最终的解满足约束条件。
拟强次可行方向法
拟强次可行方向法(Quasi-FeasibleDirectionMethod,QFDM)是一种求解非线性约束优化问题的方法。相比于其他算法，该方法具有较高的效率和稳健性，并且特别适合求解那些约束条件较多的问题。
如何计算拟强次可行方向呢？
定义非线性约束优化问题的拉格朗日函数；
计算拉格朗日函数的梯度，并求出其前L个非零子向量；
通过非零子向量计算出拟强次可行方向；
根据拟强次可行方向和搜索方向计算更新步长，并更新变量。
拟强次可行方向法只是一个求解非线性约束优化问题的方法，其核心思路便是通过计算拉格朗日函数的梯度并选取前$L$个非零子向量，然后变成拟强次可行方向用于求解非线性约束条件问题。
工作集技术
工作集技术是一种用于求解非线性约束优化问题的一种新型算法。该算法通过设置工作集的方式将较大的约束条件分解为小的子问题，然后依次求解每一个子问题，从而得到最优解。
如何构建工作集呢？
初始化工作集$W$；
在每个迭代步骤中，通过选择一个响应度前$k$位的子集合构建新的工作集；
对于每一个工作集中的子问题应用一个求解方法以找到一个新的最优解；
测试是否满足全局终止条件。若满足，则返回当前最优解；否则，重复步骤2。
超线性收敛算法
结合拟强次可行方向法和工作集技术，可以得到一种超线性收敛算法。这种算法将前两种方法结合起来，从而能够更快地求解非线性约束优化问题。具体流程如下：
初始化工作集$W$，选择一个响应度前$k$位的子集，然后计算该子集中的拟强次可行方向；
计算工作集中的所有子问题的最优解，并确定解集；
若解集中的所有点都在当前工作集$W$中，那么重复第1步；否则，更新工作集$W$并重复上述步骤。
通过以上方式，不断更新工作集并使用拟强次可行方向法求解每一个工作集中的子问题，可以加速求解非线性约束优化问题的过程。
结论
本文介绍了一种结合拟强次可行方向法和工作集技术的超线性收敛算法。该算法能够更快地求解非线性约束优化问题，特别适合求解那些约束条件较多的问题。虽然该算法的计算成本较大，但其超线性收敛速度和优秀的鲁棒性使其在实际生产和工程设计中具有广泛的应用前景。