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有限局部(PSL(2,q)S2,2)-弧传递图
引言：
弧传递性（arc-transitivity）是图论中的一个重要的概念，指任意两点之间的所有路径都可以通过某些相邻的弧连接。对于有限图，研究其弧传递性是数学家们一直以来的一个重要课题。本文将介绍一个有限局部（PSL（2，q）S2，2）-弧传递图的构造方法及特性，为大家进一步了解弧传递性提供一些新的思路。
正文：
1.弧传递性的定义及其性质
弧传递性是图论中的一个基本概念，它是指在有向或无向图中，若任意两点间的路径都可以通过某些相邻的弧连接，则该图被称为弧传递图。对于有限图，弧传递性的定义如下：
设G为一个有限图，v和w是G中的两个不同的顶点，如果对于任意一个顶点u，u和v之间存在一条路径当且仅当u和w之间存在一条路径，则称G是v-w弧传递的（arc-transitive），简称G是弧传递图。如果G是每一对不同顶点间都弧传递的，则称G是弧传递整体图（arc-transitivegraph）。
弧传递图在很多领域中都有广泛的应用，比如在代数、几何以及互联网扫描等领域，都需要研究弧传递图的性质。其中最为重要的是弧传递图的自同构群，如果G是弧传递整体图，则G的自同构群被称为全弧传递自同构群（fullarc-transitiveautomorphismgroup），即图G上的所有自同构形成的群。
除此之外，弧传递图还具有以下性质：
（1）弧传递图中所有点的度数相等。
（2）弧传递图是对称图。
（3）弧传递图中的任意两对不同点之间的路径长度都相等。
2.有限局部（PSL（2，q）S2，2）-弧传递图的构造方法
现在我们来介绍一种构造有限局部（PSL（2，q）S2，2）-弧传递图的方法。PSL（2，q）S2代表的是一个二元有限域与单位圆盘的上半部分构成的四元组的群，它由旋转、平移和对称操作构成。如果我们将单位圆盘上的点当做图的顶点，然后再将这些顶点根据PSL（2，q）S2中的操作进行连接，在此基础上加上一些特殊的约束，就可以构造出一个有限局部（PSL（2，q）S2，2）-弧传递图。
这个构造图的过程和步骤如下：
（1）我们将单位圆盘上的一些点当做图的顶点，也就是说我们可以构造一个圆盘型图。
（2）根据PSL（2，q）S2中的操作，将图中的每个顶点进行变换，并且将这些变换后的顶点与原来顶点的连线连接起来，形成一个新的图。
（3）为了保证图的弧传递性，我们还需要对新图进行一些特殊的约束，比如，在变换后的图中，只有特定的边可以覆盖原图中的边。这需要对PSL（2，q）S2进行正确的选择和使用。
通过以上步骤，我们就可以构造出一个有限局部（PSL（2，q）S2，2）-弧传递图。
3.有限局部（PSL（2，q）S2，2）-弧传递图的性质
有限局部（PSL（2，q）S2，2）-弧传递图的不同性质可以通过不同的q值来进行研究。在这里我们介绍一些性质。
（1）当q为2和3时，有限局部（PSL（2，q）S2，2）-弧传递图是存在的。
（2）当q为2时，有限局部（PSL（2，q）S2，2）-弧传递图是完全弧传递的。
（3）当q为3时，有限局部（PSL（2，q）S2，2）-弧传递图是不完全弧传递的。
（4）当q为2时，有限局部（PSL（2，q）S2，2）-弧传递图是同构于弧传递整体图M12的。
（5）当q为3时，有限局部（PSL（2，q）S2，2）-弧传递图是同构于弧传递整体图M22的。
（6）有限局部（PSL（2，q）S2，2）-弧传递图的最大偶环长是2q，最大奇环长是q+1。
结论：
有限局部（PSL（2，q）S2，2）-弧传递图是弧传递整体图的子集，具有许多弧传递图的特点，但是由于其构造的复杂性和约束的限制，使得这类图的研究仍存在不少的困难和挑战。对于一般的图和弧传递图，目前前沿的研究方向之一是研究自同构群，并通过自同构群的结构和性质推导出该图的一些基本性质。本文介绍的构造方法和特性，希望能够为这个领域的研究提供一些新的思路和方法。