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几类非局部问题及分数阶模型的数值分析及快速计算方法研究的任务书
任务书
一、背景
非局部问题是一类具有非局部关联的数学模型，它们在当代科学和工程领域中具有广泛的应用。除了传统的局部微积分外，还出现了非局部微积分，其特点是微分和积分算子的范围不再局限于局部单点或局部区域，而是考虑了全局范围。分数阶微积分是一种非局部微积分法，具有描述异速扩散、波动扩散和长程依赖等现象的能力，在各种科学领域中的应用日益广泛。
然而，非局部问题和分数阶模型的数值分析和计算方法仍然存在不少挑战，如对高维问题的处理、精度和效率的矛盾等，缺乏高效的数值算法和快速计算方法，这就需要通过深入研究和探索，进一步提高数值计算的准确性和效率。
二、研究内容
本研究将围绕非局部问题和分数阶模型的数值分析和计算方法展开，具体内容如下：
1.高效的数值算法研究。针对包括高维问题在内的复杂非局部问题，需要发展高效的数值算法，如多重网格方法、交互式多尺度方法等，用以加速求解非局部微积分和积分方程的稳态和暂态问题。
2.利用分数阶微积分改进数值模型，提高计算精度。目前绝大多数数值模型都是基于局部微积分，该方法无法直接处理分数阶偏微分方程、积分方程以及分数阶微分方程，这就需要在模型中引入分数阶导数算子去描述物理现象，发展基于分数阶微积分的数值模型和方法，提高计算精度。
3.高效的计算方法探索。针对大规模系统的求解，需要发展快速的计算方法，包括蒙特卡罗方法、快速多极子方法、基于有限元方法的隔离子域方法等，以提高计算效率和准确性。
三、技术路线
本研究的技术路线具体如下：
1.首先，对非局部问题和分数阶模型的数值算法进行深入研究，基于多重网格方法、交互式多尺度方法等发展高效的数值算法。
2.在此基础上，将分数阶微积分引入数值模型中，建立一套基于分数阶微积分的高精度数值模型和方法。
3.发展快速的计算方法，包括蒙特卡罗方法、快速多极子方法、基于有限元方法的隔离子域方法等，以提高计算效率和准确性。
4.针对所研究的方法进行数值实验和测试，对结果进行分析、比较和评估，以验证算法的准确性、稳定性和效率。
四、预期成果
1.提出一套针对非局部问题和分数阶模型的高效数值算法，能够有效处理高维问题，提高求解稳态和暂态问题的效率。
2.发展基于分数阶微积分的高精度数值模型和方法，提高模型的计算精度。
3.设计快速的计算方法，包括蒙特卡罗方法、快速多极子方法、基于有限元方法的隔离子域方法等，以提高计算效率和准确性。
4.实现一些实际问题的数值求解，向相关领域提供可行的解决思路。
五、研究进度
本研究的进度如下：
1.第一年：深入研究非局部问题和分数阶模型的数值算法，并发展高效的数值算法；
2.第二年：基于分数阶微积分引入数值模型中，研究分数阶模型的高精度数值模型和方法；
3.第三年：探索针对大规模系统的快速计算方法，并进行实际问题的数值求解；
4.第四年：实现算法的验证、分析和比较，撰写论文并提交相关的学术期刊和会议。
六、参考文献
1.李瑶.非局部分数阶偏微分方程及其数值计算方法研究[D].上海:上海大学,2020.
2.赵淋.分数阶偏微分方程数值解法研究[D].福州:福建师范大学,2020.
3.郭子斌.非局部扩散过程的数值算法及其应用[D].武汉:华中师范大学,2019.
4.程怡然.分数阶微积分模型的数值计算[D].杭州:浙江大学,2018.
5.暖斌,钱林方.分数阶微积分及其在微分方程数值解中的应用[M].北京:北京航空航天大学出版社,2019.
7.林鹏飞,田丽丽.分数阶偏微分方程的数值解法[M].北京:科学出版社,2018.