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pn阶初等交换群的pn-1阶自同构的性质综述
题目：pn阶初等交换群的pn-1阶自同构的性质综述
摘要：
本论文主要研究pn阶初等交换群的pn-1阶自同构的性质。首先，介绍了初等交换群的定义和基本性质。然后，探讨了pn阶初等交换群的结构和特征，给出了pn阶初等交换群的pn-1阶子群的形式。最后，详细研究了pn阶初等交换群的pn-1阶自同构的存在和性质。
1.引言
初等交换群是一类重要的数学结构，它在代数学和离散数学中有广泛的应用。本论文旨在研究pn阶初等交换群的pn-1阶自同构的性质，对于深入理解和应用初等交换群具有重要意义。
2.初等交换群的定义和基本性质
初等交换群是一个满足交换性质的有限群。其定义如下：
定义1：设G是一个群，如果对于G中的任意元素a、b都有ab=ba成立，则称G是一个交换群或者阿贝尔群。
根据定义可知，初等交换群的乘法是可交换的，从而满足了交换性质。
3.pn阶初等交换群的结构和特征
pn阶初等交换群是一个有限群，其阶数为pn。根据有限阶群的结构定理，pn阶初等交换群可以表示为一个直积形式：
G≅Zp1×Zp2×…×Zpk.
其中p1、p2、…、pk是互不相同的素数，且p1p2…pk=pn。
对于pn阶初等交换群的pn-1阶子群的形式，可以通过对群元素的分析来进行推导。
4.pn阶初等交换群的pn-1阶自同构的存在和性质
pn阶初等交换群的pn-1阶自同构是指群G到自身的一个同构映射φ，满足φ(g^n)=(φ(g))^n对任意g∈G成立。在研究pn阶初等交换群的pn-1阶自同构时，需要考虑同构映射的存在性和性质。
4.1存在性
对于给定的pn阶初等交换群G，是否存在一个pn-1阶自同构映射φ呢？答案是肯定的。根据有限阶群的结构定理，pn阶初等交换群可以表示为一个直积形式G≅Zp1×Zp2×…×Zpk。因此，可以通过构造一个映射φ，使得每个Zpi都存在一个pn-1阶的循环子群，从而满足同构映射的存在性。
4.2性质
pn阶初等交换群的pn-1阶自同构具有一些重要性质：
-保持单位元：对于任意g∈G，有φ(g^n)=(φ(g))^n，则φ对于单位元的映射是恒等映射。
-保持乘法运算：对于任意g1、g2∈G，有φ((g1g2)^n)=(φ(g1g2))^n=(φ(g1)φ(g2))^n=((φ(g1))^n(φ(g2))^n)，即φ保持了乘法运算。
-保持逆元：对于任意g∈G，有φ((g^{-1})^n)=(φ(g^{-1}))^n=((φ(g))^{-1})^n，即φ保持了逆元。
5.结论
本论文综述了pn阶初等交换群的pn-1阶自同构的性质。通过对初等交换群和pn阶初等交换群的结构和特征的分析，我们得出了pn阶初等交换群的pn-1阶自同构的存在性和性质。这些研究对于深入理解初等交换群以及在代数学和离散数学中的应用具有重要意义。
参考文献：
1.Dummit,D.S.,&Foote,R.M.(2004).AbstractAlgebra(3rded.).Wiley.
2.Herstein,I.N.(2013).TopicsinAlgebra(2nded.).Wiley.