某些可解群的外自同构建的阶的综述报告.docx

某些可解群的外自同构建的阶的综述报告
可解群是指存在一个可以解决群的正规子群链的群。外自同构是群同构的一种形式，它是将群和另一个群的直积的一个子群之间建立的一种映射。外自同构常用于研究群的代数性质。
在研究可解群的阶时，外自同构扮演了重要的角色。这是因为每个可解群的外自同构群都具有一些特殊的性质，这些性质与该群的阶密切相关。以下是一些关于可解群的外自同构群阶的基本结果：
1.第一条Sylow定理：设G是一个有限群，p是一个质数，且p^k||G|，则G中存在一个阶为p^k的Sylowp-子群。由此可知，可解群必有Sylowp-子群。考虑G的一个不变正规子群H，则G/H也是一个可解群。H中也有Sylowp-子群，设HP为H在G中的逆像，则P=HP/H是G的一个Sylowp-子群，且|P|=|P∩H||HP|/|H|=|P∩H||G|/|H|。
2.Burnside定理：如果G和H是有限群，且G和H的阶互素，则G和H的直积中的所有元素的阶都可以表示为G和H中元素阶的乘积。设G和H的阶分别为m和n，则G×H的阶为mn。此时，G和H的外自同构群的阶均为mn。
3.Schur-Zassenhaus定理：设G是一个有限群，且p是G的一个质数因子，则存在且仅存在一个H是G的正规子群，使得G=HP并且H∩P=1。此时，G是一个半直积群，它的外自同构群为Aut(P)。
4.广义Fitting定理：设G为一个有限群，则G可以分解为一个有限可解正规子群和一个中心化系数有限的nilpotent分解完全因子。此时，G的外自同构群为Inn(G)/F(G)，其中Inn(G)是G的内自同构群，F(G)是G的Fitting子群。
在应用上述结果的时候，我们首先需要确定一个可解群的外自同构群。我们可以利用Burnside定理、Schur-Zassenhaus定理等来研究一个可解群的外自同构群。一旦我们确定了外自同构群，我们就可以根据其阶来判定该可解群的性质。例如，如果外自同构群的阶是一个素数，则该可解群是一个循环群。如果外自同构群的阶是一个合数，则我们可以利用广义Fitting定理来研究该可解群的结构。
总之，外自同构群是研究可解群阶的重要工具之一。在研究可解群的阶时，我们需要结合Burnside定理、Schur-Zassenhaus定理以及广义Fitting定理等对外自同构群的性质进行分析，从而得出相关结论。