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亚纯函数正规族及值分布论的一些结果的开题报告
亚纯函数是复变函数中的一种特殊类型，它在复平面上除了有限个孤立点外都是解析的。亚纯函数正规族及值分布论是研究亚纯函数的性质的一个重要领域。本文将介绍一些关于亚纯函数正规族及值分布论方面的研究结果。
一、亚纯函数的正规族
亚纯函数的正规族是指一族亚纯函数，它们在某个区域内的任何紧子区域上均有收敛的子序列。亚纯函数的正规族是复分析中的一个重要概念，是研究亚纯函数性质的基础。
在亚纯函数正规族的研究中，最常用的方法是使用Montel定理。该定理指出，如果一族亚纯函数在某个区域内不是正规族，那么一定可以找到一个紧子区域，其中至少有两个点，使得这些函数在该区域上不是一致有界的。应用Montel定理可以得出一个很重要的结论，即任何紧区域内的亚纯函数族一定是正规族。
二、值分布论
值分布论是亚纯函数理论中的一个重要分支，它研究亚纯函数在复平面上的值的分布情况。其中，最基础的定理是亚纯函数最小模定理，它说明亚纯函数在复平面上的任何紧子区域内必然存在一个模最小值。
对于一些特殊的亚纯函数，值分布论得到了进一步的研究。例如，对于亚纯函数$f(z)$，如果它是有界的，并且在复平面上有无相交单连通域$D_1$和$D_2$，使得$f(z)$在$D_1$中恰有$n_1$个零点，在$D_2$中恰有$n_2$个极点，则$f(z)$在复平面上必然有$n_1-n_2$个零点和相应的重数。这个结论被称为赫尔默尔定理。
另外一个有趣的结果是芬克尔-勒方定理，它指出，如果一族亚纯函数在某个区域内是正规族，那么它们有一个共同的局部极值，称为亚纯函数族的特殊点，而且特殊点是亚纯函数族的紧致化中的极点。
三、结论
亚纯函数的正规族及值分布论是复变函数理论中的重要研究领域。Montel定理是亚纯函数正规族的基本工具，而最小模定理、赫尔默尔定理和芬克尔-勒方定理等结论则深入研究了亚纯函数在复平面上的值的分布情况。这些结果不仅有基础性的作用，而且在数学、物理、工程学等领域中也有着广泛的应用。