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与分担值相关的亚纯函数唯一性和正规族的开题报告
一、研究背景及意义
在数学中，亚纯函数是指在复平面上除了极点和汇合点之外，其他点处均可展开为可收敛的幂级数的函数。而分担值是指一个亚纯函数在所有极点处的值之和。亚纯函数的一个重要性质在于它们仅仅考虑函数在它的极点的行为，而在其它所有的点平稳，这种性质使得亚纯函数在许多应用中发挥了重要的作用。
具体而言，亚纯函数与分担值的研究在数学分析的许多领域中都有着广泛的应用，比如复变函数、代数几何、微分几何、偏微分方程等等。而分担值的概念则在复几何、一维动力系统、拓扑学中扮演着重要的角色。
二、研究现状
关于亚纯函数与分担值的研究，早在19世纪末就已经有了开始。法国数学家Picard和Painlevé在研究单叶亚纯函数时，提出了分担值的概念，并研究了分担值的唯一性问题。后来，由于分担值对于一些数学问题的重要性质，引起了许多数学家的关注。其中，最著名的一些成果是由Weierstrass、Montel、Picard、Schwarz、Wiman、Nevanlinna等人所作出的研究。他们主要从唯一性与存在性两个方面展开探讨。
在这些研究中，唯一性成为了亚纯函数与分担值研究的重点，其中最为著名的定理是著名的小皮卡定理和伯朗运动定理。
三、研究内容和方法
本文将聚焦于亚纯函数与分担值中唯一性和正规族的研究。具体来讲，将包括以下内容：
1.亚纯函数的分类和性质。介绍亚纯函数的定义、分类、充分必要条件以及一些重要的性质，包括极点、殊点、零点、Riemann映射定理等。
2.调和函数与Green函数。调和函数是一类光滑函数，其梯度的散度为零，自然地涉及“没有源头、没有汇点”的概念。而Green函数则是一种用于求解调和函数的方法。
3.分担值与唯一性问题。介绍分担值的定义、唯一性判定定理，以及一些具体的例子和证明过程。
4.正规族及其应用。正规族是指一类复函数族，其在一定意义下与能量最小化问题有关系，可以应用于解析函数逼近和逼凸问题中。
在研究方法上，将采用数学分析中的主流研究方法，以数学证明为主，进行理论推导、计算和举例说明，为读者展示亚纯函数与分担值这一研究领域的前沿进展和主要成果。
四、预期结果
本文希望通过对亚纯函数与分担值的研究，探究其在数学分析中的价值与应用，分析亚纯函数与分担值研究中面临的重要问题，并重点探究唯一性问题并运用正规族进行推导和应用。最终目的是，帮助读者深入了解亚纯函数与分担值的研究背景及意义、掌握亚纯函数和分担值的基础概念、领会唯一性问题和正规族的应用原理，在相关领域的研究和应用中起到参考作用。
五、参考文献
[1]胡政,计安华.一维复分析的基本理论.科学出版社,2007.
[2]罗谷飞,翁启梁.复变函数及其应用.高等教育出版社,2019.
[3]FengX.,WuC.L.AnIntroductiontoTeichmüllerSpaces.Springer,2012.
[4]林文实.复变函数与积分变换.湖南教育出版社,2014.