【金版教程】高考数总复习 第6章 第7讲 数归纳法课件 理 新人教A版.ppt

不同寻常的一本书，不可不读哟！

1.了解数学归纳法的原理．
2.能用数学归纳法证明一些简单的数学命题.1个重要方法
数学归纳法是证明与正整数有关的命题的常用方法，特别是数列中等式、不等式的证明，在高考中经常出现．
2个必会步骤
1.第一步是递推的基础，验证n＝n0时，n0不一定为1，要根据题目要求选择合适的起始值．
2.第二步是递推的依据，归纳假设起着“已知条件”的作用，在证明n＝k＋1时，命题也成立的过程中一定要用到它．3点必须注意
1.初始值的验证是归纳的基础，归纳递推是证题的关键，两个步骤缺一不可．
2.在用数学归纳法证明问题的过程中，要注意从k到k＋1时命题中的项与项数的变化，防止对项数估算错误．
3.解题中要注意步骤的完整性和规范性，过程中要体现数学归纳法证题的形式.课前自主导学1.数学归纳法
证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤进行：
(1)证明当n取________时命题成立，这一步是归纳奠基．
(2)假设n＝k(k≥n0，k∈N*)时命题成立，证明当________时命题也成立，这一步是归纳递推．
完成这两个步骤，就可以断定命题对一切n∈N*，n≥n0，命题成立．2．数学归纳法的框图表示核心要点研究例1[2013·青岛调研]用数学归纳法证明(n＋1)(n＋2)(n＋3)…(n＋n)＝2n·1·3·5·…·(2n－1)(n∈N＋)．
[审题视点]从n＝k到n＝k＋1的过渡，左边增加了因式(2k＋1)(2k＋2)减少了因式k＋1，右边2k变成2k＋1增加了因式(2k＋1)．[证明](1)当n＝1时，左边＝2＝右边，等式成立．
(2)假设n＝k(k∈N＋)时，等式成立，
即(k＋1)(k＋2)…(k＋k)＝2k·1·3·5·…·(2k－1)，
则当n＝k＋1时，(k＋2)(k＋3)…(k＋k)(2k＋1)(2k＋2)＝(k＋1)(k＋2)…(k＋k)·2(2k＋1)
＝2k·2(2k＋1)·1·3·5…(2k－1)
＝2k＋1·1·3·5…(2k－1)·[2(k＋1)－1]
∴当n＝k＋1时等式也成立．
由(1)、(2)可知，等式对任何n∈N＋都成立．1．用数学归纳法证明等式问题是常见题型，其关键点在于弄清等式两边的构成规律，等式两边各有多少项，初始值n0是几．
2．由n＝k到n＝k＋1时，除考虑等式两边变化的项外还要充分利用n＝k时的式子，即充分利用假设，正确写出归纳证明的步骤，从而使问题得以证明．1．用数学归纳法证明与正整数n有关的不等式，一般有三种具体形式：一是直接给出不等式，按要求进行证明；二是比较两个式子的大小，先利用n的几个特殊值猜想大小再给出证明；三是已知不等式成立，寻求变量的取值范围．
2．在证明由n＝k到n＝k＋1成立时，一定要用归纳假设n＝k时得到的中间过渡式，由过渡式到目标式的证明可以用放缩法、基本不等式、分析法等．例3[2013·保定质检]是否存在正整数m使得f(n)＝(2n＋7)·3n＋9对任意自然数n都能被m整除，若存在，求出最大的m的值，并证明你的结论；若不存在，说明理由．
[审题视点]考虑到该问题与正整数n有关，故可用数学归纳法证明，观察所给函数式，凑出推理要证明所需的项．[解]由f(n)＝(2n＋7)·3n＋9得，f(1)＝36，f(2)＝3×36，f(3)＝10×36，f(4)＝34×36，由此猜想：m＝36.
下面用数学归纳法证明：(1)当n＝1时，显然成立；
(2)假设n＝k(k∈N*且k≥1)时，f(k)能被36整除，即f(k)＝(2k＋7)·3k＋9能被36整除；
当n＝k＋1时，[2(k＋1)＋7]·3k＋1＋9＝(2k＋7)·3k＋1＋27－27＋2·3k＋1＋9＝3[(2k＋7)·3k＋9]＋18(3k－1－1)，
由于3k－1－1是2的倍数，故18(3k－1－1)能被36整除，这就是说，当n＝k＋1时，f(n)也能被36整除．
由(1)(2)可知对一切正整数n都有f(n)＝(2n＋7)·3n＋9能被36整除，m的最大值为36.证明整除问题的关键“凑项”，而采用增项、减项、拆项和因式分解等手段，凑出n＝k时的情形，从而利用归纳假设使问题获证．[变式探究]用数学归纳法证明42n＋1＋3n＋2能被13整除，其中n∈N*.
证明：(1)当n＝1时，42×1＋1＋31＋2＝91能被13整除．
(2)假设当n＝k时，42k＋1＋3k＋2能被13整除，
则当n＝k＋1时，
42(k＋1)＋1＋3k＋3＝42k＋1·42＋3k＋2·3－42k＋1·3＋42k＋1·3
＝42k＋1·13＋3·(42k＋1＋3k＋2)
∵42k＋1·13能被13整除，42k＋1＋3k＋2能被13整除
∴当n＝k＋1时也成立．由(1)(2)知，当n∈N*时，42n＋1＋3n＋2能被13整