§11.3 变量的相关关系与统计案例.ppt

11.3变量的相关关系与统计案例考点一回归分析
1.(2018课标全国Ⅱ,18,12分)下图是某地区2000年至2016年环境基础设施投资额y(单位:亿元)的折线图.为了预测该地区2018年的环境基础设施投资额,建立了y与时间变量t的两个线性回归模型.根据2000年至2016年的数据(时间变量t的值依次为1,2,…,17)建立模型①: =-30.4+13.5t;根据201
0年至2016年的数据(时间变量t的值依次为1,2,…,7)建立模型②: =99+17.5t.
(1)分别利用这两个模型,求该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值;
(2)你认为用哪个模型得到的预测值更可靠?并说明理由.解析(1)利用模型①,该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值为 =-30.4+13.5×19=22
6.1(亿元).
利用模型②,该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值为 =99+17.5×9=256.5(亿元).
(2)利用模型②得到的预测值更可靠.
理由如下:
(i)从折线图可以看出,2000年至2016年的数据对应的点没有随机散布在直线y=-30.4+13.5t上下,这说明利用2000年至2016年的数据建立的线性模型①不能很好地描述环境基础设施投资额的变化趋势.2010年相对2009年的环境基础设施投资额有明显增加,2010年至2016年的数据对应的点位于一条直线的附近,这说明从2010年开始环境基础设施投资额的变化规律呈线性增长趋势,利用2010年至2016年的数据建立的线性模型 =99+17.5t可以较好地描述2010年以
后的环境基础设施投资额的变化趋势,因此利用模型②得到的预测值更可靠.
(ii)从计算结果看,相对于2016年的环境基础设施投资额220亿元,由模型①得到的预测值226.1亿元的增幅明显偏低,而利用模型②得到的预测值的增幅比较合理,说明利用模型②得到的预测值更可靠.方法总结利用回归直线方程进行预测是对总体的估计,此估计值不是准确值,把自变量代入回归直线方程即可对因变量进行估计,但需注意自变量的取值范围.2.(2016课标全国Ⅲ,18,12分)下图是我国2008年至2014年生活垃圾无害化处理量(单位:亿吨)的折线图.

(1)由折线图看出,可用线性回归模型拟合y与t的关系,请用相关系数加以说明;
(2)建立y关于t的回归方程(系数精确到0.01),预测2016年我国生活垃圾无害化处理量.
附注:参考数据: yi=9.32, tiyi=40.17, =0.55, ≈2.646.
参考公式:相关系数r= ,
回归方程 = + t中斜率和截距最小二乘估计公式分别为:
 = , = -  .解析(1)由折线图中数据和附注中参考数据得
 =4, (ti- )2=28, =0.55,
 (ti- )(yi- )= tiyi-  yi=40.17-4×9.32=2.89,
r≈ ≈0.99. (4分)
因为y与t的相关系数近似为0.99,说明y与t的线性相关程度相当高,从而可以用线性回归模型拟合y与t的关系. (6分)
(2)由 = ≈1.331及(1)得 = = ≈0.10,
 = -  =1.331-0.10×4≈0.93.
所以y关于t的回归方程为 =0.93+0.10t. (10分)
将2016年对应的t=9代入回归方程得: =0.93+0.10×9=1.83.
所以预测2016年我国生活垃圾无害化处理量将约为1.83亿吨.(12分)思路分析先根据折线图及参考数据求解相关系数r,再对相关系数r的意义进行阐述,然后根据最小二乘法得出线性回归系数,注意运算的准确性.3.(2015课标Ⅰ,19,12分,0.140)某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费,需了解年宣传费x(单位:千元)对年销售量y(单位:t)和年利润z(单位:千元)的影响.对近8年的年宣传费xi和年销售量yi(i=1,2,…,8)数据作了初步处理,得到下面的散点图及一些统计量的值.
 表中wi= , =  wi.
(1)根据散点图判断,y=a+bx与y=c+d 哪一个适宜作为年销售量y关于年宣传费x的回归方程
类型?(给出判断即可,不必说明理由)
(2)根据(1)的判断结果及表中数据,建立y关于x的回归方程;
(3)已知这种产品的年利润z与x,y的关系为z=0.2y-x.根据(2)的结果回答下列问题:
(i)年宣传费x=49时,年销售量及年利润的预报值是多少?
(ii)年宣传费x为何值时,年利润的预报值最大?
附:对于一组数据(u1,v1),(u2,v2),…,(un,vn),其回归直线v=α+βu的斜率和截距的最小二乘估计分别为
 = , = -  .解析(1)由散点图可以判断,y=c+d 适宜作为年销售量y关于年宣传费x的回归方程类型