期权定价问题的数值方法.pdf

系统科学与数学
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期权定价问题的数值方法

刘棠

天津财经学院基础部,天津南开大学天津大学刘徽应用数学中心,天津

张盘铭

天津财经学院科研处,天津

摘要本文研究以股票为标的资产的美式看跌期权定价问题的数值方法,即有限元方法
通过将所考虑的问题转化为等价的变分不等式,并利用积分恒等式与超逼近分析技术,
得到了半离散有限元方法的最优一模与一模的误差估计

关键词美式看跌期权,变分不等式,有限元方法,最优误差估计

主题分类号,,,

引言

早在世纪欧洲和美国就己经有了简单的期权交易,到了世纪年代,期权交易
在投资者中开始普及特别是年和合作建立了期权定价模型,为
期权交易提供了有利的工具,使得期权交易越来越扩大,以致于到了年代初期,虽然不
同的交易所交易量不同,但是总体上看,有些交易所的每日交易的期权合约规定的标的股
票总数超过了某些交易所股票本身的交易量期权交易的迅速发展既说明了它本身具有
的内在优势,也说明了在金融市场上期权交易对投资者起着越来越重要的作用很明显,
期权定价是期权交易的核心问题,它在理论和实践上都有重要意义对于欧式期权,
和早已给出了解析形式的定价公式氏〕经典的一方程把美式期权的定
价问题,即决定美式最优执行价格问题,转化为决定抛物方程的自由边值问题与欧式期权
不同,对于美式期权的价格不存在解析公式,也无法求得精确解因此,发展各种计算美式
期权价格的数值方法具有重要的实际意义尽管人们早己提出可用偏微分方程数值方法如
有限差分法和有限元方法等来近似求解此类问题氏,但有关数值方法,特别是数值方法的
理论分析如收敛性和稳定性方面的工作还很不完善据作者所知,就有限元方法而言,
只有张铁叫及其他少数几位作者对该方法做了理论分析,并给出了数值实验结果对标的
资产为股票的无红利支付的美式看跌期权,文’给出了有限元方法的半离散和全离散逼近
格式及稳定性分析,得到了半离散格式阶为句的一模误差估计,从逼近论的角度看,
这个逼近阶不是最优丰满的本文以股票为标的资产的美式看跌期权定价问题为例,研

天津市高等学校科技发展基金及南开大学天津大学刘徽数学中心项目资助课题
收稿日期一一
期刘棠等期权定价问题的数值方法

究高效有限元方法利用积分恒等式与超逼近分析技术,得到了半离散有限元方法的一模
与一模的最优误差估计

等价的变分不等式问题

用表示股票价格为期权的执行价格,尸为期权价格,为期权执行日期,

,,
为股票价格的波动率为无风险利率假设在期权有效期内股票无红利支付与为
常数那么美式股票看跌期权的价格尸尸,满足如下线性互补偏微分方程

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在论证中,用刀表示通常的空间,。为相应范数,。刀护刀空间上

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的范数与内积分别记为】】。和,设是一个空间,试约,刘号表示
值函数,定义空间

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用表示与剖分尺寸无关的常数,在不同处可代表不同的常数
首先对问题进行化简,目的是将退化的变系数方程化成正定的常系数方程,将反向
时间问题化为正向时间问题因此,引进变量变换

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其中、一告一‘贝。在此变换下,直接计算可口问题转化为女口下问题,

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正如文叫所指出的那样,为了便于构造数值方法,通常的做法是将问题限制在有界
区域上,并根据原问题的性质给出相应的人工边界条件因为股票价格既不能上升为无穷
大,也不可能下降为零,所以可限制变量任卜,司,其中为充分大的常数又由于当
股票价格远大于执行价格时,看跌期权的价格尸,二,因此可令。二,从抽
象的数学角度看,问题是一退化的抛物型自由边值问题,该自由边界约在金融
学里被称为期权的最优执行价格由套利论证可知,当。三至约时,尸。,
于是,由上述变换关系式可令。丁,一二或一因此,问题的初边值条件可确定为

·
二,夕,。二,一二夕一,。二,
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系统科学与数学

,。
为了便于应用有限元方法下面进一步将问严一转化为等价的变分不等式

、
二一,在空间中引进闭凸子集

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以下为方便,我们仍使用代替二表示时间变量利用分部积分法,可知互补问题卜

等价的变分不等式为叫求诚幻〔使满足

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其中二。二瓮,。。,二为由下式给出的‘刀‘刀上对称正定的双线性形式

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