（小学中学试题）初三数学二次函数的图象和性质知识精讲 首师大版.doc

初三数学二次函数的图象和性质知识精讲
一.本周教学内容：
函数及其图象专题复习（二）——二次函数的图象和性质及综合题。
1.二次函数的图象和性质

2.用配方法求抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的顶点坐标。

3.画二次函数的图象：
经常采用五点作图法，我们可以用顶点坐标公式，求出图象的顶点，过顶点作平行于y轴的直线就是图象的对称轴，在对称轴的一侧找两个点（常找与坐标轴的交点），则根据对称性，很容易找出另一侧的两个点，过这四个点连同顶点，共五个点，用光滑曲线顺次连结画出草图。

4.二次函数、二次方程、二次不等式的关系：
（1）方程ax2+bx+c=0(a≠0)的解就是“x取什么值时，ax2+bx+c的值为0”，转化为“自变量x是什么值时，函数y=ax2+bx+c(a≠0)的函数值为0”，再转化为“图象上点的横坐标是什么值时，纵坐标是0”。
如图：

（2）二次不等式ax2+bx+c>0(a≠0)的解集就是“x在什么范围内取值时，ax2+bx+c的值大于0”，转化为“自变量x取什么值时，函数y=ax2+bx+c的函数值大于0”，这句话的几何意义是：“图象上的点的纵坐标是正数时，点的横坐标取什么值？”
如图，x1<x<x2时，ax2+bx+c>0

当x<x1或x>x2时，ax2+bx+c<0
当x=x1，x=x2时，ax2+bx+c=0

5.用待定系数法确定二次函数的解析式：
（1）一般式：y=ax2+bx+c(a≠0)，求出待定系数a、b、c，适用于图象过任意三点；
（2）顶点式：y=a(x－h)2+k，(a≠0)，求出待定系数a、h、k，适用于涉及图象的顶点时；
（3）双根式：y=a(x－x1)(x－x2)，(a≠0)，求出待定系数a、x1、x2，适用于已知图象上横轴的交点已知时。
6.二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的最大值和最小值：

低点，这个最低点的纵坐标y的值即为最小值，

（2）当a<0，抛物线开口向下，它的顶点是图象上的最高点，这个最高点的纵坐标y的值即为最大值，

求二次函数最值的方法有两个：①用图象法；②配方法。

二.重点、难点：
重点是二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象和性质的理解及灵活应用，利用二次函数的图象的性质解决现实生活中的实际问题。
难点：二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的性质、图象及平移规律：
抛物线y=ax2+bx+c转化为顶点式y=a(x－h)2+k，都可以由y=ax2经过适当的平移得到，平移方法如图：

注意：上述平移规律是：“h值正、负，右、左移；k值正、负，上、下移”。抛物线的平移问题，不要死记硬背平移规律，只要将其解析式化为顶点式，然后根据它们的顶点的位置关系，确定平移方向和平移距离，这样非常简单。

例1.
点，求抛物线的解析式。
解：设所求的二次函数解析式为y=ax2+bx+c(a≠0)

例2.已知抛物线的顶点为（－2，4），与y轴的交点为（0，3），求这个二次函数的解析式。
解：∵抛物线的顶点为（－2，4）
∴设抛物线解析式为y=a(x+2)2+4，（a≠0）
把x=0，y=3代入y=a(x+2)2+4中，得

例3.已知抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴的两个交点的横坐标为－1，3，与y轴交

解：设所求抛物线的解析式为y=a(x+1)(x－3)，

例4.
解：
∴m=－1。
错解1：∵抛物线开口向下，∴m－1<0∴m<1
错解2：
∴m2－m=2∴m=－1或m=2。

例5.求符合下列条件的抛物线y=ax2的解析式：
（1）通过点（－3，2）；

（3）当自变量x的值由1增加到2时，函数值减少4。
解：（1）把点（－3，2）代入y=ax2，

（3）当x=1时，y=a；当x=2时，y=4a，
∵a－4=4a

注意：

例6.已知二次函数y=(m－1)x2+2mx+(3m－2)（m≠1）的最大值是零，求此函数的解析式。
解：∵二次函数有最大值零，
∴此函数图象的开口向下，且顶点的纵坐标为零。

例7.k取什么值时，对任意实数x，二次不等式(4－k)x2－3x+k+4>0都成立。
分析：当k≠4时，(4－k)x2－4x+k+4是x的二次函数。
设y=(4－k)x2－4x+k+4，则题目的意思是问：k取什么值时，当x取任意实数时，y>0，转化为图象关系，是问：k取什么值时，图象上点的横坐标取任何实数时，点的纵坐标都是正值，也就是说，图象都在x轴的上方，如图。

怎样把这个图象的几何条件转化为数量关系，然后计算出k值呢？
∵这个图是开口向上，且顶点的纵坐标是正值。

或者利用抛物线与x轴无交点，得到判别式Δ<0，则有

以下解法同上。

例8.利用二次函数y=ax2+bx+c的图象回答以下问题