（小学中学试题）初中数学 中点 在解题中的运用例谈 专题辅导 不分版本.doc

初中数学“中点”在解题中的运用例谈

在平时的解题中，我们经常遇到“中点”，那么我们如何运用中点位置的特殊性解题呢？首先我们了解一下与中点有关的几个定理：
①等腰三角形底边上的中线、高与顶角的平分线互相重合；
②直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；
③三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半；梯形的中位线平行于两底，并且等于两底之和的一半；
④经过三角形一边中点与另一边平行的直线必平分第三边；经过梯形一腰中点与底边平行的直线，必平分另一腰。
现谈谈中点在解题中的运用。
例1如图1，在△ABC中，BD，CE分别是AC，AB边上的中线，BD与CE相交于O。F，G分别是OB，OC的中点。求证：EF=DG。

图1
分析与解E是AB的中点，F是OB的中点，可得；同理可证，所以EF=DG。
例2如图2，在△ABC中，BE，CD分别是AC，AB边上的高。G，F分别是DE，BC的中点。求证：GF⊥DE。

图2
分析与解要证GF⊥DE，已知G为DE的中点，只须连接DF，EF，证DF=FE。
因为∠BDC=90°，BF=FC，所以；同理可证EF=，所以DF=EF。又DG=GE，所以GF⊥DE。
例3如图3，梯形ABCD中AB是下底，以AD，AC为邻边作平行四边形ADEC，延长DC交BE于F点。
求证：F是BE的中点。

图3
分析与解要证点F是BE的中点，已知DF//AB，根据“经过三角形一边中点与另一边平行的直线必平分第三边”，需构造中点，所以连接AE，交DC于H，证EH=AH。
因为四边形ADEC是平行四边形，所以EH=AH。又DF//AB，所以EF=BF。
点评遇到中点问题时，经常要寻找“直角三角形、等腰三角形，另一个中点、平行线”来解决问题。
例4如图4，在△ABC中，E是CB的延长线上一点，CB=BE，EF=AC，过点A作AD//EF交CB的延长线于D。求证：∠DAB=∠BAC。

图4
证明延长AB到点G，使得BG=AB，连接EG。因为AB=BG，∠ABC=∠GBE，CB=BE，
所以△ABC≌△GBE 所以∠BAC=∠G，AC=EG
又EF=AC，所以EF=EG 所以∠G=∠EFG 所以∠BAC=∠EFG
又AD//EF 所以∠DAB=∠EFG 所以∠DAB=∠BAC
点评遇到中点，有时也“倍长中线”。
例5如图5，已知梯形ABCD中，AD//BC，，F为CD的中点，求证：AF⊥BF。

图5
证明延长AF，BC交于点E，因为AD//BC 所以∠ADF=∠ECF，∠DAF=∠E
又DF=CF，所以△ADF≌△ECF 所以AF=EF，AD=CE
又，所以BE=AB 又AF=FE，所以AF⊥BF
点评遇到中点，有时也构造“X”字型的全等三角形。