初中数学“中点”在解题中的运用例谈专题辅导.doc

用心爱心专心初中数学“中点”在解题中的运用例谈在平时的解题中我们经常遇到“中点”那么我们如何运用中点位置的特殊性解题呢？首先我们了解一下与中点有关的几个定理：①等腰三角形底边上的中线、高与顶角的平分线互相重合；②直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；③三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半；梯形的中位线平行于两底并且等于两底之和的一半；④经过三角形一边中点与另一边平行的直线必平分第三边；经过梯形一腰中点与底边平行的直线必平分另一腰。现谈谈中点在解题中的运用。例1如图1在△ABC中BDCE分别是ACAB边上的中线BD与CE相交于O。FG分别是OBOC的中点。求证：EF=DG。图1分析与解E是AB的中点F是OB的中点可得；同理可证所以EF=DG。例2如图2在△ABC中BECD分别是ACAB边上的高。GF分别是DEBC的中点。求证：GF⊥DE。图2分析与解要证GF⊥DE已知G为DE的中点只须连接DFEF证DF=FE。因为∠BDC=90°BF=FC所以；同理可证EF=所以DF=EF。又DG=GE所以GF⊥DE。例3如图3梯形ABCD中AB是下底以ADAC为邻边作平行四边形ADEC延长DC交BE于F点。求证：F是BE的中点。图3分析与解要证点F是BE的中点已知DF//AB根据“经过三角形一边中点与另一边平行的直线必平分第三边”需构造中点所以连接AE交DC于H证EH=AH。因为四边形ADEC是平行四边形所以EH=AH。又DF//AB所以EF=BF。点评遇到中点问题时经常要寻找“直角三角形、等腰三角形另一个中点、平行线”来解决问题。例4如图4在△ABC中E是CB的延长线上一点CB=BEEF=AC过点A作AD//EF交CB的延长线于D。求证：∠DAB=∠BAC。图4证明延长AB到点G使得BG=AB连接EG。因为AB=BG∠ABC=∠GBECB=BE所以△ABC≌△GBE所以∠BAC=∠GAC=EG又EF=AC所以EF=EG所以∠G=∠EFG所以∠BAC=∠EFG又AD//EF所以∠DAB=∠EFG所以∠DAB=∠BAC点评遇到中点有时也“倍长中线”。例5如图5已知梯形ABCD中AD//BCF为CD的中点求证：AF⊥BF。图5证明延长AFBC交于点E因为AD//BC所以∠ADF=∠ECF∠DAF=∠E又DF=CF所以△ADF≌△ECF所以AF=EFAD=CE又所以BE=AB又AF=FE所以AF⊥BF点评遇到中点有时也构造“X”字型的全等三角形。