（小学中学试题）大学附中 高二数学上学期第一次月考.doc

山西省山西大学附中2019-2020学年高二数学上学期第一次月考试题
考试时间：90分钟满分：100分

一、选择题（每小题3分，共36分）

1.等于（）
A.B.C.D.
2.设为实数，且，则下列不等式正确的是()

A.B．C.D．
3.已知数列是递增的等比数列，是其前项和，若，，则（）
A.62B.48C.36D.31
4.已知非零向量与的夹角为，且，则（）
A.1B.2C.D.
5.下列选项中，使不等式成立的的取值范围是（）
A.B.C.D.
6.若中，，则此三角形的形状是()
A．直角三角形B．等腰三角形C．等边三角形D．等腰直角三角形
7.在中，，则（）
A.16B.-16C.9D.-9
8.已知，，则（）
A.B.C.D.
9.如图，在平行四边形中，是的中点，且,是线段上的动点，过点作的垂线，垂足为，当最小时，=()
A.B.
C.D.
10．已知在中，内角的对边分别为，，若此三角形有且只有一个，则的取值范围是()
A．B．C．D．
11.的内角的对边分别为，已知
，，则（）
A.6B.5C.4D.3
12.已知函数的图象经过点和.若函数在区间上有唯一零点，则的取值范围是
A．B．C．D.
二、填空题（每小题3分，共12分）

13.已知，若依次成等比数列，则的最小值为.
14.已知函数，若，则的值为.
15.已知角的顶点为坐标原点，始边与轴的正半轴重合，将终边按逆时针方向旋转后经过点，则的值是.
16.已知数列满足，设，则数列的前8项和为.

三、解答题（17-20题每小题10分，21题12分，共计52分）

17.已知等差数列的前项和为，且，的等比中项为4.
（1）求数列的通项公式；
（2）设，求数列的前项和为.

18.设函数.
（1）已知.函数是偶函数，求的值；
（2）求函数的值域.

19.已知两地相距，汽车从地匀速行驶到地，速度，已知汽车每小时的运输成本(单位：元)由可变部分和固定部分两部分组成：可变部分与速度的平方成正比，比例系数为，固定部分为元.
（1）把全程运输成本(元)表示为速度的函数；并求出当时，汽车应以多大速度行驶，才能使全程运输成本最小；
（2）随着汽车的折旧,运输成本会发生一些变化,那么当时,此时汽车的速度应调整为多大,才会使得运输成本最小.

20.已知中，角的对边分别为.
（1）若，求的值；
（2）若的平分线交于点，且，求的周长的最小值.

21.已知是递增数列，其前项和为，，且.
（1）求数列的通项公式；
（2）是否存在，使得成立？若存在，写出一组符合条件的；若不存在，说明理由；
（3）设，若对任意的，不等式
恒成立，求正整数的最大值.

山西大学附中
2019—2020学年高二第一学期9月（总第一次）模块诊断
数学试题答案
考试时间：90分钟满分：100分
一、选择题（3×12=36分）
123456789101112CBDBBABBCCAD二、填空题（3×4=12分）
13.814.15.16.255
三.解答题（4×10+12=52分）

17.

4分

6分

8分

10分

18.解：（1）由题可知，函数是偶函数，
所以，即，
整理，得，
所以.
因为，
4分
解得或.

（2）由题可知：

8分
，
因为，即，
所以当时，，
当时，，
10分
因此函数的值域为.

4分
2分
19.解:(1)由题意知,汽车从A地匀速行驶到B地所用时间为,
全程成本为；
当时,

5分
当且仅当时取等号.
所以汽车应以的速度行驶,能使得全程运输成本最小.

10分
7分
(2)当时,，
由对勾函数的单调性可知时，有最小值.
所以汽车应以的速度行驶,才能使得全程运输成本最小.

20.

4分

7分

8分

10分

21.解：（1），得，
1分
解得，或．由于，所以．
因为，所以.
故，
整理，得，即．
3分
因为是递增数列，且，故，
因此．故数列是以2为首项，为公差的等差数列.
4分
所以.
（Ⅱ）满足条件的正整数不存在，证明如下：
6分
假设存在，使得，
则．
7分
整理，得，①
显然，左边为整数，所以①式不成立，故满足条件的正整数不存在．
（Ⅲ），
不等式可转化为

8分
．
设，
则

10分
.
所以，即当增大时，也增大．
要使不等式对于任意的恒成立，只需即可．
11分
因为，所以.
12分
即.
所以，正整数的最大值为8．