矩阵论 矩阵的分解学习教案.pptx

会计学矩阵分解的概述§3.1常见的矩阵标准形与分解一、矩阵的三角分解（triangulardecomposition)三角分解的存在性和惟一性
定理3.1（P.62）：
矩阵的k阶主子式：取矩阵的前k行、前k列得到的行列式，k=1，2，…，n。
定理:AFnn有惟一LDV分解的充要条件是A的顺序主子式Ak非零，k=1，2，…，n-1。
二、矩阵的满秩分解三、可对角化矩阵的谱分解2、矩阵可以对角化的一个充要条件
定理3.5（P.73）
矩阵A可以相似对角化当且仅当矩阵A有谱分解
，满足条件：3.幂等矩阵的性质
定理3.4（P.72）PFnn，P2=P，则
矩阵PH和矩阵（I–P）仍然是幂等矩阵。
P的谱{0，1}，P可相似于对角形。
Fn=N（P）R（P）
N（P）=V=0，R（P）=V=1
P和（I–P）的关系
N（I–P）=R（P），R（I–P）=N（P）
Hermite矩阵的谱分解
定理3.6（P.73）设A是秩为k的半正定的Hermite矩阵，则A可以分解为下列半正定矩阵的和。
A=v1v1H+v2v2H+…vkvkH§3.2Schur分解和正规矩阵一、Schur分解2、Schur分解
定理3.7（P.74）对矩阵ACnn，存在酉矩阵U和上三角矩阵T，使得
UHAU=T=
二、正规矩阵（NormalMatrices）2、正规矩阵的基本特性
定理3.10（P.78）：
ACnn正规A酉相似于对角形。
推论：正规ACnnA有个标准正交的特征向量构成空间Cn的标准正交基。
定理3.11（P.80）（正规矩阵的谱分解）
A正规A有如下谱分解：
3、正规性质的应用举例
例题1（P.79，eg11）
例题2（P.79，eg12）
例题3设ARnn，AT=–A，证明
A的特征值是零和纯虚数。
矩阵A的秩是偶数。