加强复变函数物理意义的理解和应用.doc

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加强复变函数理论的联系及物理意义的理解

杨华军赖番冯国柱杨林颖刘长久
（电子科技大学物理电子学院成都610054）

【摘要】对复变函数论中一特殊而又典型的环路积分,利用复变理论中的主要理论:柯西定理、柯西积分公式、级数展开理论、孤立奇点的留数定理以及留数和定理，分别以五种不同的解法详细地进行了讨论．加强了复变函数各理论之间的有机联系.利用积分计算方法得出两个推论，能简化某些积分的计算．这些定理的应用对于系统学习《复变函数论》具有重要的指导意义．同时加强对复变函数相关理论的物理意义的理解也是教学中十分重要的内容，物理意义的理解对典型物理现象的认识、数学建模（数学物理方程的建立）有着重要的指导意义．
【关键词】复变函数论柯西定理留数定理物理意义

我们知道，根据柯西（Cauchy）积分定理，解析函数对解析闭区域的边界或其内部任一环路的积分均为零.但对于含奇点的复变函数的积分计算却是比较困难的,且构成了复变函数论中的一个重要组成部分．
作者在从事数学物理方法的长期教学实践中，发现一特殊而又典型的含奇点的闭合环路积分
,其中整数.其计算结果为:当则当，则.
对于该积分的计算，可以分别应用复变函数的主要理论:柯西定理、柯西积分公式、级数展开理论、留数定理以及留数和定理分别进行求解，从而加深了对这些理论本身的理解以及理论彼此间的相互联系.而常规教材中未涉及到本积分的计算.

1．复变函数理论的有机联系
下面以五种不同的解法求解积分,其中整数.
1.1利用柯西定理计算
【解法1】
(1)当时，则令,故有

（2）当时，由于函数的奇点为．
设可分解
即为

对于任何复数要使上式成立，则根据复数相等必有的相同幂次系数相同
仅考虑项系数,故
显然上式左端项系数＝0,右端项系数＝
所以
设为仅包含奇点，又彼此不相交的小圆周，则根据复合闭路柯西定理有

注意到推导中已经使用．
1.2利用柯西积分公式计算
【解法2】
(1)对于，直接利用柯西积分公式得到

(2)下面主要讨论的情形，设为仅包含奇点，又彼此不相交的小圆周（根据闭路变形原理也可以是任意小的闭合曲线）则根据柯西定理（或复合闭路柯西定理）得到

在每一具体的积分内应用柯西积分公式，并令故有

最后一步利用了（可以证明的）数学恒等式【1】．
其中为方程的根．

附：对数学恒等式的证明[1]
若对应为的根，其中且取整数.试证明下列数学恒等式成立
（1.1）
【证明】方程的根可写为
令，则.
令，则所证明的恒等式即．
先考察左边级数的第一项：
当时,故第一项为

可以推导出第二项为

注意到推导中已经利用
同理，通项即第项为

显然级数为等比级数，其公比为：

因，故.故证毕．
说明：对数学恒等式的详细证明请参考文献[1].

1.3利用级数展开理论计算积分
【解法3】
步骤1：利用级数展开法计算典型环路积分.
被积函数在积分区域内的奇点较多，根据积分性质将区域内积分转化为区域外积分【2】

在积分区域外满足，，故，被积函数可展开为

步骤2：将区域外转化为区域内积分

利用复变函数中的典型例题公式[3]:，其中L包含点.
显然,当，时；当时，对任何均有.

1.4利用留数定理对计算积分
【解法4】
(1)当时,由留数理论,显然为被积函数的一阶极点,故有

(2)当时,显然任意一个奇点均为被积函数的一阶极点,根据孤立奇点的留数定理和一阶极点的计算方法有

1.5利用留数和定理计算积分
【解法5】根据留数和定理,有限远奇点的各留数加无穷远点的留数之和为零,设，则

故
因为满足，根据计算无穷远点的留数【4】的下述定理
定理若，则.
故有

故
容易看出利用留数定理或留数和定理（或无穷远点的留数概念）计算积分更加简单明了．

2.重要推论
根据上述解法，利用留数和定理与无穷远点留数的计算，可得出如下重要推论:
推论1：若复变函数在复平面上有两个以上的有限远奇点（且为一阶极点）,除极点外解析,则对于包含所有有限远奇点的闭曲线的复积分必为零.

【证明】利用留数和定理，无穷远点留数的计算方法即可证明.
设，且设为充分大的闭合回路，它包含所有的有限远点（除外），根据留数和定理，则有
因为满足，根据无穷远点留数的计算方法有

故

推论2：对于复平面（两个以上）的有限远点有下列数学恒等式成立

【证明】设仅包含奇点,且设
则利用推论1和复合闭路柯西定理有

利用柯西积分公式（与上述1.2小节类似的推导）可得
＝
即有成立．
其几何意义表明:复平面上任意两个以上的不重合的有限远点，其任意一点与其余诸点之差的连乘的倒数累计求和必为零.反映出复平面上的统计平均效应.
这一恒等式间接地反映了量子力学、统计力学中粒子的统计平均效应．

3.复变函数积分的物理意义理解
复变函数环路积分的物理意义
常规