复变函数的应用复变函数在工程上的应用.pdf

复变函数的应用复变函
数在工程上的应用

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浅析复变函数在工程中的应用

作为一名学习通信工程的学生，我能感受到复变函数在学习
中的大量运用，现在正在学习的《信号与系统》中时刻出现
复变函数的简单应用。经过查阅，我想从自己熟悉的角度谈
一下复变函数在工程中的应用，主要分为两个方面，一个方
面是电磁场中的复变函数方法，一个方面是积分变换及其在
通信中的应用。导入：

在学习大学物理电磁场的过程中，我曾经接触过这样一道题
目，题目如下：

1

由于在给某些定边值的静电场问题中，在直角坐标系中无法
找到简单形式的试探解。通常采用叠加原理和傅里叶级数来
构成一个满足边界条件的试探解，然后运用傅里叶级数的相
关知识求出待定系数即可。

例如此题中是将（x）=??0用傅里叶级数做了展开

而的求法便是应用复变函数中的傅里叶级数知识，

看到这道题后你的第一思路可能是这种不能凑成势能相应
形式的题目没有

办法解，但是当你深入到复变函数中的傅里叶中的级数展
开，你的思路便展开了，由于傅里叶级数可以展开成无数个
频率不同，幅度不同的正弦余弦，而正弦余弦形式的解的形
式我们是可以解答的，所以我们可以解出这道题，由求出的
系数带入到原来的傅里叶级数?，便可以求出最终解。

经过这道题目，我初步了解到了复变函数的初步作用，即它
可以提供一种逼近思想，它可以将一个常数经过傅里叶级数

2

展开变成一个由无数多个不同幅度，不同频率的正余弦函数
的和，用信号与系统中的分析思想就是由实数域转换到了复
频域。

复变函数在静电场问题中的应用：

在电磁场的学习中，我们在“静电场的标量位”这一章中接触
到了复变函数在静电场问题中的应用。

如果一个系统为场量和源量分布只与x和y有关的二维静电
场系统。因为在二维无源区域内，静电位满足二维拉普拉斯

方程，即

??（x，y）=2??2(??,??)

2(??,??)

我们发现，此时的点位是一个调和函数，通过复变学习我们

已经知道，解析函数的实部和虚部都是调和函数，而且是一
对共轭的调和函数。因此，我们可以使用复变函数这一数学

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工具来解决二维静电场问题。

由此在电磁场中引出了复电位的概念，若f（??）=u(x,y)+
jv(x,y),则??2??(??,??)

2??(??,??)

2??(??,??)????（1）
+??2??(??,??)

=0??（2）

只要利用解析函数应满足的柯西-黎曼条件，即

??u，????????????

就可以导出式（1）和（2），可以证明，实部函数和虚部函
数的等值线族是相互正交的。由正交特性，可以将平面上的

电场强度放在复平面上来考察，也就是可以将E（x,y）写成
复数形式????????????

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??u（x,y）(??,??)????
（??）=?????????=-,其中????便是复电位的
概念。?

利用复变位可以反映静电场分布情况，这是通过与已知静电
场问题的解相对比而得到的。如果有一些有复杂边界的静电
系统，则不能通过这种对比方法来求复电位，这时编引入了
常用的保角变换，利用保角变换可以把一些具有复杂边界的
静电系统变换为有简单边界的典型静电系统。

运用保角运算计算系统的复电位的思路是这样的：将复杂边

界的静电系统变换为有简单边界的典型静电系统，由于典型
静电系统的复电位容易求解，运用复杂边界与简单边界的关
系，求出典型系统的静电位之后，就可以通过反变来得到原
系统的复电位了。当然，能够运用这种思想需要的理论基础
是黎曼定理和互为单值对应原理。

许瓦兹-克瑞斯托弗尔变换也是一种平面之间的转换关系，它

可以将z平面上的一个任意多边形区域变换为w平面的上半
平面的一种变换。

以上便是平面静磁场问题中的复变函数方法，即运用复电

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位，保角变换（保角映射），许瓦兹-克瑞斯托弗尔变换等来
解决问题。

其实，我认为复变函数更多的体现在信号与系统的学习过程
中，因为复变函数的思想一致贯穿与信号与系统的学习中，
在时域中难以解决的问题通过转换到频域中可以得到更简
便的解决方案，而转换到复频域便涉及到了复变函数的应
用。

连续时间信号的实频域分析和连续时间系统的实频域分析
便是是运用傅里

叶级数及傅里叶变换。而连续时间信号与连续时间系统的复
频域分析便是运用到了拉普拉斯变换的性质。作为复变函数
中重要的傅里叶变换和拉普拉斯变换，我们足以看到复变函
数在信号即通信中的重要作用。

首先，我们引入实频域分析的傅里