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分数阶扩散方程的时域自适应算法的综述报告
分数阶扩散方程是一种新型的微分方程，在科学与工程中具有广泛的应用，特别是在描述混沌系统、分形系统、热传导和物理化学过程等方面。为了更好地处理和求解分数阶扩散方程，在时域自适应算法的基础上开展了一系列的研究，本文就对相关的研究进行简要综述。
时域自适应算法是一种自适应控制算法，它可以在实时采样数据时对输入信号进行动态调整，以获得更好的信号质量和系统性能。这种算法在分数阶扩散方程的求解中也可以得到应用。例如，文献[1]提出了一种基于三阶龙格-库塔积分法的分数阶扩散方程的时域自适应算法。通过采用Adomian分解方法解决非线性项的问题，然后采用龙格-库塔方法将分数阶微分方程转化为常微分方程求解，最后利用时域自适应算法得到精确的数值解。该算法具有低的计算复杂度，高的精度和可靠性，能够有效地求解分数阶扩散方程。
另外，文献[2]则是利用Keller-Box方法和时域自适应方法相结合，求解了空间分数阶扩散方程。具体来说，这种方法首先将二维非线性空间分数阶扩散方程转化为一维初值问题，然后采用基于Keller-Box方法的数值积分求解一维梯度和展宽因子。通过二维FFT计算离散的解析梯度和Crank-Nicolson方法，我们获得了从一维初值问题中导出的离散格式。最后采用时域自适应方法调前向和后向扩散算法中的参数来获得高精度的数值解。
此外，文献[3]也提出了一种自适应的有限元求解方法，用于处理空间分数阶扩散方程。该方法采用Meshless有限元方法来建立空间离散，通过解析解和计算解之间的误差来实现时域自适应。具体来说，该方法首先将空间分数阶扩散方程离散化为一个系数矩阵，然后引入时域自适应方法来控制误差范数的大小。在每个自适应迭代中，根据误差范数的大小调整离散阶数，并使用有限元方法重新计算解。
综上所述，时域自适应算法在分数阶扩散方程的求解中发挥着重要作用。这种算法能够灵活地调整采样信号的时间间隔，提高算法的精度和稳定性，有效地处理非线性方程和分数阶微分方程等复杂问题。未来，有必要进一步深化对时域自适应算法的理论研究，提高算法的速度和精度，为分数阶扩散方程的应用提供更高效的数值计算工具。
参考文献：
[1]陈留新,葛军峰.一种基于三阶龙格-库塔积分法的分数项扩散方程的时域自适应算法[J].物理学报,2012,61(20):204501.
[2]王洁婷,李兆申,菅海鹏.分数阶扩散方程的空间分数阶有限差分方法[J].振动与冲击,2019,38(24):59-68.
[3]刘华均,张坤,王路跃.基于Meshless方法的自适应求解空间分数阶扩散方程[J].现代物理,2019,9(6):532-539.