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分数阶对流扩散方程的新型特征差分及分数阶扩散问题的快速算法的综述报告
分数阶对流扩散方程是一类具有广泛应用背景的非线性常微分方程，在信号处理、物理学、金融等多个领域中都有着重要的应用。在实际问题中，由于存在边界条件和初值条件，求解该方程很可能会遇到计算量大、求解时间长和精度问题等困难。
为了解决这些问题，研究者们提出了一系列新型特征差分方法，如著名的Adomian分解法、数值投影法、Ritz方法等。这些方法具有较高的求解精度，且能够快速收敛。本文主要对分数阶对流扩散方程的新型特征差分方法及分数阶扩散问题的快速算法进行综述。
首先，我们介绍Adomian分解法。由于分数阶对流扩散方程的非线性性，亦即粘滞与慢扩散的相互作用，Adomian分解法可以被用于对这类方程进行求解。通过将方程所有项分解成小的无穷级数，并在其中逐步逼近真实解，可以获得解函数的及时近似。这种方法具有求解快速、数学化程度高和精度高等优点。但是在计算部分导数时，Adomian分解法面临着一定的挑战。
为了克服Adomian分解法的局限性，研究者们设计了数值投影法。该方法将特征函数进行分解，并在离散网格上进行逼近。通过结构梯度的计算，可以减少计算量和时间，同时获得更高的求解精度。数值投影法也是目前比较有效的分数阶扩散方程求解算法。
此外，Ritz方法是一种被广泛用于求解非线性分数阶偏微分方程的方法。该方法通过寻找一个基于多项式的特征函数，使得该函数与实际解相匹配，在Ritz-Galerkin方法的内部特征上运用数学方法进行调整。这种方法可以产生与变分法类似的结果，但是更有优越性与鲁棒性。
最后，本文也提到了分数阶扩散问题的快速算法。这些算法主要基于矩阵算法和分解算法，在求解时能够节省计算量和提高求解精度。具体的方法包括基于特征值分解和基于局部插值的算法。
总结起来，分数阶对流扩散方程的新型特征差分方法及分数阶扩散问题的快速算法，极大地提高了求解该方程的效率和精度。这些方法具有简单易用、求解快速和同步收敛等特点，未来可以进一步应用于各领域的实际问题求解。